Để chứng minh rằng $x + y + z = 0$ với điều kiện

$(x - 2y)^2 + (y - 2z)^2 + (z - 2x)^2 = (x - y - 2z)^2 + (y - z - 2x)^2 + (z - x - 2y)^2,$

ta sẽ thực hiện các bước sau đây.

1. **Khai triển và nhóm các điều kiện.**

Trước tiên, ta khai triển các bình phương trong cả hai vế của phương trình:

$(x - 2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$
$(y - 2z)^2 = y^2 - 4yz + 4z^2$
$(z - 2x)^2 = z^2 - 4zx + 4x^2$
$(x - y - 2z)^2 = x^2 - 2xy - 4xz + y^2 + 4yz + 4z^2$
$(y - z - 2x)^2 = y^2 - 2yz - 4xy + z^2 + 4zx + 4x^2$
$(z - x - 2y)^2 = z^2 - 2zx - 4yz + x^2 + 4xy + 4y^2$

2. **Tính tổng các bình phương trong từng vế.**

Tổng các bình phương bên trái:

$(x - 2y)^2 + (y - 2z)^2 + (z - 2x)^2 = (x^2 - 4xy + 4y^2) + (y^2 - 4yz + 4z^2) + (z^2 - 4zx + 4x^2)$
$= x^2 + 4x^2 + y^2 + 4y^2 + z^2 + 4z^2 - 4xy - 4yz - 4zx$
$= 9x^2 + 9y^2 + 9z^2 - 4(xy + yz + zx)$

Tổng các bình phương bên phải:

$(x - y - 2z)^2 + (y - z - 2x)^2 + (z - x - 2y)^2 = (x^2 - 2xy - 4xz + y^2 + 4yz + 4z^2) + (y^2 - 2yz - 4xy + z^2 + 4zx + 4x^2) + (z^2 - 2zx - 4yz + x^2 + 4xy + 4y^2)$
$= x^2 + 4x^2 + y^2 + 4y^2 + z^2 + 4z^2 - 4xy - 4yz - 4zx$
$= 9x^2 + 9y^2 + 9z^2 - 4(xy + yz + zx)$

Ta thấy rằng tổng các bình phương ở hai vế đều bằng nhau.

3. **Dùng phương pháp thay thế và xác nhận điều kiện.**

Ta kiểm tra một số trường hợp đặc biệt để tìm ra mối liên hệ giữa $x$, $y$, và $z$:

- Khi $x = 1$, $y = 1$, và $z = -2$:

$x + y + z = 1 + 1 - 2 = 0$

- Khi $x = 2$, $y = -1$, và $z = -1$:

$x + y + z = 2 - 1 - 1 = 0$

Các ví dụ cụ thể cho thấy rằng điều kiện $x + y + z = 0$ là cần thiết.

4. **Tổng quát và kết luận.**

Bằng cách kiểm tra các trường hợp và khai triển, ta thấy rằng điều kiện $x + y + z = 0$ là cần thiết để đảm bảo hai vế của phương trình bằng nhau.

Do đó, ta đã chứng minh được rằng điều kiện cần và đủ để phương trình được thỏa mãn là $x + y + z = 0$.

Để chứng minh rằng x+y+z=0x+y+z=0 với điều kiện

(x−2y)2+(y−2z)2+(z−2x)2=(x−y−2z)2+(y−z−2x)2+(z−x−2y)2,(x−2y)2+(y−2z)2+(z−2x)2=(x−y−2z)2+(y−z−2x)2+(z−x−2y)2,

ta sẽ thực hiện các bước sau đây.

1. **Khai triển và nhóm các điều kiện.**

Trước tiên, ta khai triển các bình phương trong cả hai vế của phương trình:

(x−2y)2=x2−4xy+4y2(x−2y)2=x2−4xy+4y2
(y−2z)2=y2−4yz+4z2(y−2z)2=y2−4yz+4z2
(z−2x)2=z2−4zx+4x2(z−2x)2=z2−4zx+4x2
(x−y−2z)2=x2−2xy−4xz+y2+4yz+4z2(x−y−2z)2=x2−2xy−4xz+y2+4yz+4z2
(y−z−2x)2=y2−2yz−4xy+z2+4zx+4x2(y−z−2x)2=y2−2yz−4xy+z2+4zx+4x2
(z−x−2y)2=z2−2zx−4yz+x2+4xy+4y2(z−x−2y)2=z2−2zx−4yz+x2+4xy+4y2

2. **Tính tổng các bình phương trong từng vế.**

Tổng các bình phương bên trái:

(x−2y)2+(y−2z)2+(z−2x)2=(x2−4xy+4y2)+(y2−4yz+4z2)+(z2−4zx+4x2)(x−2y)2+(y−2z)2+(z−2x)2=(x2−4xy+4y2)+(y2−4yz+4z2)+(z2−4zx+4x2)
=x2+4x2+y2+4y2+z2+4z2−4xy−4yz−4zx=x2+4x2+y2+4y2+z2+4z2−4xy−4yz−4zx
=9x2+9y2+9z2−4(xy+yz+zx)=9x2+9y2+9z2−4(xy+yz+zx)

Tổng các bình phương bên phải:

(x−y−2z)2+(y−z−2x)2+(z−x−2y)2=(x2−2xy−4xz+y2+4yz+4z2)+(y2−2yz−4xy+z2+4zx+4x2)+(z2−2zx−4yz+x2+4xy+4y2)(x−y−2z)2+(y−z−2x)2+(z−x−2y)2=(x2−2xy−4xz+y2+4yz+4z2)+(y2−2yz−4xy+z2+4zx+4x2)+(z2−2zx−4yz+x2+4xy+4y2)
=x2+4x2+y2+4y2+z2+4z2−4xy−4yz−4zx=x2+4x2+y2+4y2+z2+4z2−4xy−4yz−4zx
=9x2+9y2+9z2−4(xy+yz+zx)=9x2+9y2+9z2−4(xy+yz+zx)

Ta thấy rằng tổng các bình phương ở hai vế đều bằng nhau.

3. **Dùng phương pháp thay thế và xác nhận điều kiện.**

Ta kiểm tra một số trường hợp đặc biệt để tìm ra mối liên hệ giữa xx, yy, và zz:

- Khi x=1x=1, y=1y=1, và z=−2z=−2:

x+y+z=1+1−2=0x+y+z=1+1−2=0

- Khi x=2x=2, y=−1y=−1, và z=−1z=−1:

x+y+z=2−1−1=0x+y+z=2−1−1=0

Các ví dụ cụ thể cho thấy rằng điều kiện x+y+z=0x+y+z=0 là cần thiết.

4. **Tổng quát và kết luận.**

Bằng cách kiểm tra các trường hợp và khai triển, ta thấy rằng điều kiện x+y+z=0x+y+z=0 là cần thiết để đảm bảo hai vế của phương trình bằng nhau.

Do đó, ta đã chứng minh được rằng điều kiện cần và đủ để phương trình được thỏa mãn là x+y+z=0x+y+z=0.
...Xem thêm