Để giải các bài toán số học này, ta sẽ thực hiện từng bước cụ thể:

### 1. Chứng minh \(33^n + 1 - 33^n\) chia hết cho 32 với mọi \(n\) là số tự nhiên

Bài toán có vẻ như có lỗi gõ, vì \(33^n + 1 - 33^n\) đơn giản hóa thành \(1\), mà \(1\) không thể chia hết cho \(32\). Có thể ý định của bạn là:

**Chứng minh rằng \(33^n - 1\) chia hết cho \(32\) với mọi \(n\) là số tự nhiên.**

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp và lý thuyết số học:

- **Bước 1: Kiểm tra cơ sở quy nạp** với \(n = 1\):

\[
33^1 - 1 = 33 - 1 = 32
\]

32 chia hết cho 32, nên cơ sở quy nạp đúng.

- **Bước 2: Giả sử điều này đúng cho \(n = k\), tức là \(33^k - 1\) chia hết cho 32.

Ta cần chứng minh rằng \(33^{k+1} - 1\) cũng chia hết cho 32.

\[
33^{k+1} - 1 = 33 \cdot 33^k - 1
\]

Ta có thể viết lại như sau:

\[
33 \cdot 33^k - 1 = 33 \cdot 33^k - 33 + 33 - 1 = 33 \cdot (33^k - 1) + 32
\]

Theo giả thiết quy nạp, \(33^k - 1\) chia hết cho 32, nên \(33 \cdot (33^k - 1)\) cũng chia hết cho 32. Do đó, \(33^{k+1} - 1 = 33 \cdot (33^k - 1) + 32\) chia hết cho 32.

Vậy \(33^{k+1} - 1\) chia hết cho 32.

Điều này chứng tỏ rằng \(33^n - 1\) chia hết cho 32 với mọi số tự nhiên \(n\).

### 2. Chứng minh \(n^8 - n\) chia hết cho 6 với mọi \(n\) thuộc \(\mathbb{Z}\)

Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh \(n^8 - n\) chia hết cho cả 2 và 3, vì 6 = 2 × 3.

- **Chứng minh chia hết cho 2:**

- Nếu \(n\) là số chẵn, \(n = 2k\), thì:

\[
n^8 - n = (2k)^8 - 2k = 2^8 k^8 - 2k = 256k^8 - 2k
\]

Tất cả các số hạng trong biểu thức này đều chia hết cho 2, vì vậy \(n^8 - n\) chia hết cho 2.

- Nếu \(n\) là số lẻ, \(n = 2k + 1\), thì:

\[
n^8 - n = (2k + 1)^8 - (2k + 1)
\]

Dễ dàng nhận thấy rằng \((2k + 1)^8\) là số lẻ và \(2k + 1\) cũng là số lẻ, sự khác biệt của hai số lẻ là chẵn. Do đó, \(n^8 - n\) chia hết cho 2.

- **Chứng minh chia hết cho 3:**

- Ta kiểm tra tất cả các trường hợp modulo 3.

1. Nếu \(n \equiv 0 \pmod{3}\):

\[
n^8 - n \equiv 0^8 - 0 \equiv 0 \pmod{3}
\]

2. Nếu \(n \equiv 1 \pmod{3}\):

\[
n^8 - n \equiv 1^8 - 1 \equiv 0 \pmod{3}
\]

3. Nếu \(n \equiv 2 \pmod{3}\):

\[
n^8 - n \equiv 2^8 - 2 \equiv 256 - 2 \equiv 254 \equiv 1 \pmod{3}
\]

Chúng ta có thể nhận thấy rằng \(n^8 - n \equiv 0 \pmod{3}\) cho tất cả các trường hợp.

- **Kết luận:**

Vì \(n^8 - n\) chia hết cho cả 2 và 3, nên nó chia hết cho 6 với mọi \(n \in \mathbb{Z}\).