### Câu 1: Thực hiện phép tính

a) \(\frac{a x^2 - 2}{x - 1} - \frac{-1}{x - 1}\)

\[
\frac{a x^2 - 2}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} = \frac{a x^2 - 2 + 1}{x - 1} = \frac{a x^2 - 1}{x - 1}
\]

b) \(\frac{x + 3}{x^2 - 4} - \frac{1}{x^2 - 4}\)

Vì \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\), các phân thức có cùng mẫu số:

\[
\frac{x + 3 - 1}{x^2 - 4} = \frac{x + 2}{x^2 - 4}
\]

c) \(\frac{x - 2}{x - 6} - \frac{18 - x}{x - 6} + \frac{x + 2}{x - 6}\)

Vì tất cả các phân thức có cùng mẫu số, ta cộng các tử số:

\[
\frac{(x - 2) - (18 - x) + (x + 2)}{x - 6} = \frac{x - 2 - 18 + x + x + 2}{x - 6} = \frac{3x - 18}{x - 6}
\]

### Câu 2: Áp dụng quy tắc đổi dấu để các phân thức có cùng mẫu số rồi thực hiện phép tính

a) \(\frac{2x^2 - x}{x - 1} + \frac{x + 1}{1 - x} - \frac{x^2 - 2}{x - 1}\)

Ta thấy \(\frac{x + 1}{1 - x} = -\frac{x + 1}{x - 1}\), nên:

\[
\frac{2x^2 - x}{x - 1} - \frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x^2 - 2}{x - 1}
\]

Kết hợp các phân thức:

\[
\frac{(2x^2 - x - (x + 1) - (x^2 - 2))}{x - 1} = \frac{2x^2 - x - x - 1 - x^2 + 2}{x - 1} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1}
\]

\[
\frac{(x - 1)^2}{x - 1} = x - 1
\]

b) \(\frac{5}{y - 1} - \frac{1}{1 - y} + \frac{y}{y - 1}\)

Chuyển \(\frac{1}{1 - y}\) thành \(-\frac{1}{y - 1}\):

\[
\frac{5}{y - 1} + \frac{1}{y - 1} + \frac{y}{y - 1} = \frac{5 + 1 + y}{y - 1} = \frac{6 + y}{y - 1}
\]

c) \(\frac{4 - x^2}{x - 5} + \frac{2x - x^2}{5 - x} - \frac{4x - 5}{x - 5}\)

Chuyển mẫu số của \(\frac{2x - x^2}{5 - x}\) thành \(-\frac{2x - x^2}{x - 5}\):

\[
\frac{4 - x^2}{x - 5} - \frac{2x - x^2}{x - 5} - \frac{4x - 5}{x - 5}
\]

Kết hợp các phân thức:

\[
\frac{4 - x^2 - (2x - x^2) - (4x - 5)}{x - 5} = \frac{4 - x^2 - 2x + x^2 - 4x + 5}{x - 5} = \frac{-6x + 9}{x - 5}
\]

### Câu 3: Thực hiện phép tính

a) \(\frac{2 + a}{2a} - \frac{1}{2}\)

Viết chung mẫu số và thực hiện phép trừ:

\[
\frac{2 + a - a}{2a} = \frac{2}{2a} = \frac{1}{a}
\]

b) \(\frac{2}{x - 1} - \frac{7 - x}{2x - 2}\)

Chuyển mẫu số của phân thức thứ hai thành \(2(x - 1)\):

\[
\frac{2}{x - 1} - \frac{7 - x}{2(x - 1)}
\]

Tìm mẫu chung:

\[
\frac{4 - (7 - x)}{2(x - 1)} = \frac{4 - 7 + x}{2(x - 1)} = \frac{x - 3}{2(x - 1)}
\]

c) \(\frac{7}{5 - 7x} - \frac{31}{5x - 15}\)

Chuyển mẫu số của phân thức thứ hai thành \(5 - 7x\) và tìm mẫu chung:

\[
\frac{7}{5 - 7x} + \frac{31}{15 - 5x}
\]

Dễ dàng nhận thấy \(15 - 5x = - (5 - 7x)\), nên:

\[
\frac{7 - 31}{5 - 7x} = \frac{-24}{5 - 7x} = \frac{24}{7x - 5}
\]

d) \(\frac{x^2 + y^2 - 2(x^4 + y^4)}{x^2 + y^2}\)

Chia từng số hạng:

\[
\frac{x^2}{x^2 + y^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2} - \frac{2(x^4 + y^4)}{x^2 + y^2}
\]

Làm gọn:

\[
1 - 2 \frac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2}
\]