Để tính đạo hàm của hàm số \( Y = \frac{x}{x^2 + 1} \), ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm cho một hàm số dạng phân số, áp dụng quy tắc đạo hàm của phân số.

Công thức đạo hàm của hàm số dạng phân số \( \frac{u(x)}{v(x)} \) là:

\[
\left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}
\]

Trong đó, \( u(x) = x \) và \( v(x) = x^2 + 1 \).

**Bước 1: Tính đạo hàm của \( u(x) \) và \( v(x) \)**

- \( u(x) = x \)
\[
u'(x) = 1
\]

- \( v(x) = x^2 + 1 \)
\[
v'(x) = 2x
\]

**Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm của phân số**

\[
\left( \frac{x}{x^2 + 1} \right)' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}
\]

Thay vào:

\[
\left( \frac{x}{x^2 + 1} \right)' = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}
\]

**Bước 3: Tính toán và đơn giản hóa**

\[
\left( \frac{x}{x^2 + 1} \right)' = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
= \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]

**Kết quả:**

\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{x^2 + 1} \right) = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]