Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \frac{\tan x + 1}{\sin x - 1} \), ta cần xác định những giá trị của \( x \) sao cho hàm số này được xác định.

### Bước 1: Tìm điều kiện để biểu thức chính của hàm số xác định

Hàm số \( y = \frac{\tan x + 1}{\sin x - 1} \) sẽ được xác định khi mẫu số không bằng 0 và khi các hàm số trong tử số và mẫu số đều được xác định.

1. **Điều kiện để mẫu số không bằng 0**:
\[
\sin x - 1 \neq 0
\]
\[
\sin x \neq 1
\]
\[
x \neq \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{với} \; k \in \mathbb{Z}
\]
(Bởi vì \(\sin x = 1\) khi \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \)).

2. **Điều kiện để hàm số \(\tan x\) được xác định**:
\[
\tan x \text{ không được xác định khi } x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{với} \; k \in \mathbb{Z}
\]

### Bước 2: Kết hợp các điều kiện

Từ các điều kiện trên, hàm số sẽ không được xác định ở các giá trị \( x \) thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

- \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \) (khi \(\tan x\) không xác định).
- \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \) (khi \(\sin x = 1\)).

Tuy nhiên, cả hai điều kiện trên đều bao gồm các giá trị \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \). Do đó, tập hợp giá trị \( x \) mà hàm số không xác định chính là tập hợp các giá trị làm cho \(\tan x\) không xác định.

### Kết luận

Tập xác định của hàm số \( y = \frac{\tan x + 1}{\sin x - 1} \) là:

\[
D = \mathbb{R} \setminus \left\{ x \mid x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \right\}
\]