Để tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{\tan x + 1}{\sin x - 1}$, ta cần xác định những giá trị của $x$ sao cho hàm số này được xác định.

### Bước 1: Tìm điều kiện để biểu thức chính của hàm số xác định

Hàm số $y = \frac{\tan x + 1}{\sin x - 1}$ sẽ được xác định khi mẫu số không bằng 0 và khi các hàm số trong tử số và mẫu số đều được xác định.

1. **Điều kiện để mẫu số không bằng 0**:
$\sin x - 1 \neq 0$
$\sin x \neq 1$
$x \neq \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{với} \; k \in \mathbb{Z}$
(Bởi vì $\sin x = 1$ khi $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$).

2. **Điều kiện để hàm số $\tan x$ được xác định**:
$\tan x \text{ không được xác định khi } x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{với} \; k \in \mathbb{Z}$

### Bước 2: Kết hợp các điều kiện

Từ các điều kiện trên, hàm số sẽ không được xác định ở các giá trị $x$ thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

- $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$ (khi $\tan x$ không xác định).
- $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$ (khi $\sin x = 1$).

Tuy nhiên, cả hai điều kiện trên đều bao gồm các giá trị $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Do đó, tập hợp giá trị $x$ mà hàm số không xác định chính là tập hợp các giá trị làm cho $\tan x$ không xác định.

### Kết luận

Tập xác định của hàm số $y = \frac{\tan x + 1}{\sin x - 1}$ là:

$D = \mathbb{R} \setminus \left\{ x \mid x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \right\}$