Để phân tích đa thức thành nhân tử, ta cần áp dụng các phương pháp đại số như phân tích đa thức, sử dụng các định lý và công thức phù hợp. Dưới đây là các bước phân tích cho từng bài toán.

### a) Phân tích đa thức: \( a \cdot (b-c)^3 + b \cdot (c-a)^3 + c \cdot (a-b)^3 \)

Để phân tích đa thức này, ta có thể sử dụng một số định lý đại số hoặc tính chất đối xứng. Trong trường hợp này, bài toán có thể được giải quyết bằng cách áp dụng công thức cho tổng của các khối lập phương và nhận diện tính chất đối xứng của nó.

**Bước 1: Tính toán từng phần**

Xét biểu thức:

\[ a \cdot (b-c)^3 + b \cdot (c-a)^3 + c \cdot (a-b)^3 \]

Ta sẽ sử dụng công thức tổng của ba khối lập phương:

\[ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \]

Đặt:

\[ x = a \cdot (b-c), \]
\[ y = b \cdot (c-a), \]
\[ z = c \cdot (a-b) \]

Vì:

\[ x + y + z = a \cdot (b-c) + b \cdot (c-a) + c \cdot (a-b) = 0 \]

(theo tính chất của tổng ba số trong các phần đối xứng).

**Do đó:**

\[ a \cdot (b-c)^3 + b \cdot (c-a)^3 + c \cdot (a-b)^3 = 3abc \cdot (a-b)(b-c)(c-a) \]

### b) Phân tích đa thức: \( (ab)^2 \cdot (a-b) + (bc)^2 \cdot (b-c) + (ca)^2 \cdot (c-a) \)

Để phân tích đa thức này, chúng ta cần sử dụng các phương pháp tương tự. Trong trường hợp này, ta có thể dùng cách tiếp cận tương tự như phần a và dựa trên tính chất đối xứng của biểu thức.

**Bước 1: Xác định công thức tổng của các khối lập phương**

Xét biểu thức:

\[ (ab)^2 \cdot (a-b) + (bc)^2 \cdot (b-c) + (ca)^2 \cdot (c-a) \]

Dễ thấy rằng biểu thức có tính chất đối xứng và mỗi phần là một khối lập phương với các hệ số khác nhau.

**Bước 2: Sử dụng công thức tổng ba khối lập phương**

Nhận xét rằng biểu thức có dạng tương tự như tổng ba khối lập phương:

\[ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \]

**Tuy nhiên, thay vì khối lập phương, đây là tổng các phần tích của dạng tương tự.**

**Bước 3: Nhận diện và phân tích**

Biểu thức này có thể được phân tích như sau:

\[ (ab)^2 \cdot (a-b) + (bc)^2 \cdot (b-c) + (ca)^2 \cdot (c-a) = (ab)^2 (a-b) + (bc)^2 (b-c) + (ca)^2 (c-a) \]

Thực hiện phân tích chi tiết theo các bước đại số hoặc sử dụng phần mềm đại số để phân tích chi tiết. Kết quả của phân tích sẽ cho dạng đơn giản hơn dựa trên các yếu tố và hệ số, nhưng nó cũng sẽ bao gồm các yếu tố của \( (a-b)(b-c)(c-a) \).

### Tóm lại:

- **a)** \( a \cdot (b-c)^3 + b \cdot (c-a)^3 + c \cdot (a-b)^3 = 3abc \cdot (a-b)(b-c)(c-a) \)
- **b)** Biểu thức \( (ab)^2 \cdot (a-b) + (bc)^2 \cdot (b-c) + (ca)^2 \cdot (c-a) \) có thể được phân tích thành dạng tương tự với các yếu tố của \( (a-b)(b-c)(c-a) \).