Để giải các bài toán về góc lượng giác trong phạm vi \((\pi; \frac{3\pi}{2})\), chúng ta cần sử dụng các định lý lượng giác cơ bản và công thức lượng giác.

### A) Biết \(\cos^2 a = \frac{3}{4}\). Tính \(\sin a\) và \(\cos (a + \frac{\pi}{3})\).

#### 1. Tính \(\sin a\)

Sử dụng định lý Pythagore trong lượng giác:

\[
\sin^2 a = 1 - \cos^2 a
\]

Biết rằng \(\cos^2 a = \frac{3}{4}\):

\[
\sin^2 a = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}
\]

\[
\sin a = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}
\]

Vì \(a\) thuộc khoảng \((\pi; \frac{3\pi}{2})\) (góc ở góc ba), \(\sin a\) là âm:

\[
\sin a = -\frac{1}{2}
\]

#### 2. Tính \(\cos (a + \frac{\pi}{3})\)

Sử dụng công thức cộng góc:

\[
\cos (a + \frac{\pi}{3}) = \cos a \cos \frac{\pi}{3} - \sin a \sin \frac{\pi}{3}
\]

Với \(\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\) và \(\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), và biết \(\cos a = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin a = -\frac{1}{2}\):

\[
\cos (a + \frac{\pi}{3}) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

\[
\cos (a + \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = 0
\]

### B) Biết \(\sin^2 a = \frac{1}{2}\). Tính \(\sin a\) và \(\cos (\frac{\pi}{4} - a)\).

#### 1. Tính \(\sin a\)

Sử dụng định lý Pythagore trong lượng giác:

\[
\sin^2 a = \frac{1}{2}
\]

\[
\sin a = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Vì \(a\) thuộc khoảng \((\pi; \frac{3\pi}{2})\) (góc ở góc ba), \(\sin a\) là âm:

\[
\sin a = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\]

#### 2. Tính \(\cos (\frac{\pi}{4} - a)\)

Sử dụng công thức chênh lệch góc:

\[
\cos (\frac{\pi}{4} - a) = \cos \frac{\pi}{4} \cos a + \sin \frac{\pi}{4} \sin a
\]

Với \(\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) và \(\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), và \(\sin a = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), cần tính \(\cos a\) từ:

\[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
\]

\[
\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \cos^2 a = 1
\]

\[
\frac{1}{2} + \cos^2 a = 1
\]

\[
\cos^2 a = \frac{1}{2}
\]

\[
\cos a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Vì \(a\) thuộc khoảng \((\pi; \frac{3\pi}{2})\) (góc ở góc ba), \(\cos a\) là âm:

\[
\cos a = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Vậy:

\[
\cos (\frac{\pi}{4} - a) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
\]

\[
\cos (\frac{\pi}{4} - a) = -\frac{2}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{1}{2}
\]

### Tóm tắt kết quả:

- **A)** Nếu \(\cos^2 a = \frac{3}{4}\):
- \(\sin a = -\frac{1}{2}\)
- \(\cos (a + \frac{\pi}{3}) = 0\)

- **B)** Nếu \(\sin^2 a = \frac{1}{2}\):
- \(\sin a = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(\cos (\frac{\pi}{4} - a) = -\frac{1}{2}\)