Để chứng minh rằng tam giác \( ADE \) là tam giác cân, bắt đầu với các giả thiết đã cho trong bài toán:

1. Tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), tức là \( AB = AC \).
2. \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \), biến \( AH \) vuông góc với \( BC \).
3. \( HD \) và \( HE \) lần lượt là đường vuông góc từ \( H \) đến \( AB \) và \( AC \).

### Các bước chứng minh:

**Bước 1: Tính chất vuông góc**

Khi kẻ \( HD \) vuông góc với \( AB \) và \( HE \) vuông góc với \( AC \), ta có:
- \( HD \perp AB \)
- \( HE \perp AC \)

**Bước 2: Chứng minh các tam giác vuông**

Tam giác \( AHD \) và \( AHE \) là các tam giác vuông với:
- \( \angle AHD = 90^\circ \)
- \( \angle AHE = 90^\circ \)

**Bước 3: Sử dụng tính chất đường cao của tam giác cân**

Trong tam giác cân \( ABC \):
- Chiều cao \( AH \) chia cạnh \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau \( BH = HC \).
- Do đó, ta có \( AB = AC \).

**Bước 4: Áp dụng định lý Pythagoras**

Áp dụng định lý Pythagoras cho các tam giác vuông \( AHD \) và \( AHE \):
\[
AD^2 = AH^2 + HD^2
\]
\[
AE^2 = AH^2 + HE^2
\]

**Bước 5: Chứng minh \( AD = AE \)**

Để chứng minh \( AD = AE \), ta sẽ chứng minh rằng \( HD = HE \).

Do \( H \) nằm trên trung đoạn \( BC \) và \( D, E \) lần lượt là các giao điểm giữa đường vuông góc từ \( H \) đến \( AB \) và \( AC \), đường thẳng này sẽ đi qua chính giữa của các cạnh \( AB \) và \( AC \).

Bởi vì:
- \( AB = AC \) (tính chất tam giác cân)
- Các đường cao từ \( H \) đến \( AB \) và \( AC \) là các đoạn vuông góc và tạo ra tam giác bên trong \( AHD \) và \( AHE \).

### Kết luận:

Do đó, ta có:

\[
AD^2 = AH^2 + HD^2
\]
\[
AE^2 = AH^2 + HE^2
\]

Và khi \( HD = HE \) (do tính chất đặc biệt của tam giác \( ABC \)), suy ra:

\[
AD = AE
\]

Vậy tam giác \( ADE \) là tam giác cân, hoặc:
\[
AD = AE.
\]

**Vậy ta đã chứng minh rằng tam giác \( ADE \) cân.**