### a) Xác định P(x)

Cho \( P(x) \) là đa thức bậc bốn thỏa mãn \( P(-1) = 0 \) và \( P(x) - P(x-1) = x(x+1)(2x+1) \).

1. **Gọi \( P(x) \) có dạng**:
\[
P(x) = a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0
\]

2. **Tính \( P(x) - P(x-1) \)**:
\[
P(x) - P(x-1) = [a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0] - [a_4(x-1)^4 + a_3(x-1)^3 + a_2(x-1)^2 + a_1(x-1) + a_0]
\]

- Tính \( P(x-1) \):
\[
P(x-1) = a_4(x-1)^4 + a_3(x-1)^3 + a_2(x-1)^2 + a_1(x-1) + a_0
\]

- Mở rộng:
\[
(x-1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1
\]
\[
(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1
\]
\[
(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1
\]

- Thay vào:
\[
P(x-1) = a_4(x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) + a_3(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + a_2(x^2 - 2x + 1) + a_1(x - 1) + a_0
\]

- Tính hiệu:
\[
P(x) - P(x-1) = [a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0] - [a_4x^4 - 4a_4x^3 + 6a_4x^2 - 4a_4x + a_4 + a_3x^3 - 3a_3x^2 + 3a_3x - a_3 + a_2x^2 - 2a_2x + a_2 + a_1x - a_1 + a_0]
\]

\[
P(x) - P(x-1) = (4a_4 + a_3)x^3 + (6a_4 - 3a_3 + a_2)x^2 + (-4a_4 + 3a_3 - 2a_2 + a_1)x + (a_4 - a_3 + a_2 - a_1)
\]

- So sánh với \( x(x+1)(2x+1) \):
\[
x(x+1)(2x+1) = 2x^3 + 3x^2 + x
\]

- So sánh hệ số:
\[
4a_4 + a_3 = 2
\]
\[
6a_4 - 3a_3 + a_2 = 3
\]
\[
-4a_4 + 3a_3 - 2a_2 + a_1 = 1
\]
\[
a_4 - a_3 + a_2 - a_1 = 0
\]

- Giải hệ phương trình trên:
\[
a_4 = \frac{1}{2}, \, a_3 = 0, \, a_2 = \frac{3}{2}, \, a_1 = 0, \, a_0 = 0
\]

- Do đó:
\[
P(x) = \frac{1}{2}x^4 + \frac{3}{2}x^2
\]

### b) Áp dụng tính \( S = \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(2k+1) \)

1. **Xác định tổng \( S \)**:

- Sử dụng công thức:
\[
S = \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(2k+1)
\]

- Áp dụng phân tích:
\[
k(k+1)(2k+1) = 2k^3 + 3k^2 + k
\]
\[
\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(2k+1) = \sum_{k=1}^{n} (2k^3 + 3k^2 + k)
\]

- Sử dụng công thức tổng các lũy thừa:
\[
\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2
\]
\[
\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]
\[
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
\]

- Thay vào công thức:
\[
\sum_{k=1}^{n} (2k^3 + 3k^2 + k) = 2 \sum_{k=1}^{n} k^3 + 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k
\]
\[
= 2 \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}
\]
\[
= \frac{n^2(n+1)^2}{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2}
\]
\[
= \frac{n(n+1)}{2} \left[n^2 + (2n+1) + 1\right]
\]
\[
= \frac{n(n+1)}{2} (n^2 + 2n + 2)
\]
\[
= \frac{n(n+1)(n+2)(n+1)}{2}
\]

- Rút gọn:
\[
S = \frac{n(n+1)(n+2)(2n+1)}{4}
\]