Để tìm giá trị của \(x\), \(y\), và \(z\) sao cho biểu thức sau đây bằng 0:

\[
5x^2 + 5y^2 + z^2 + 8xy + 4yz + 2x - 2y + 2 = 0
\]

ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương và phân tích. Dưới đây là các bước chi tiết:

### 1. **Nhóm các hạng tử**

Chúng ta bắt đầu với việc nhóm các hạng tử trong biểu thức:

\[
5x^2 + 5y^2 + z^2 + 8xy + 4yz + 2x - 2y + 2
\]

Nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\), \(y\), và \(z\):

\[
5x^2 + 5y^2 + z^2 + 8xy + 4yz + 2x - 2y + 2
\]

### 2. **Hoàn thành bình phương**

Ta sẽ nhóm các hạng tử theo cách có thể hoàn thành bình phương.

#### **Nhóm \(x\) và \(y\) với \(x^2\) và \(y^2\):**

Xét các hạng tử:

\[
5x^2 + 5y^2 + 8xy
\]

Ta có thể viết lại thành:

\[
5(x^2 + y^2 + \frac{8}{5}xy)
\]

Tuy nhiên, để đơn giản, ta thử một cách khác:

Xét phương pháp chính xác hơn để hoàn thành bình phương cho toàn bộ biểu thức.

### 3. **Hoàn thành bình phương cho biểu thức đầy đủ**

Tách biệt biểu thức thành các bình phương:

\[
5x^2 + 5y^2 + z^2 + 8xy + 4yz + 2x - 2y + 2
\]

Có thể sắp xếp thành các nhóm như sau:

\[
5(x^2 + y^2 + \frac{8}{5}xy) + z^2 + 4yz + 2x - 2y + 2
\]

Ta thử thêm hạng tử để hoàn thành bình phương. Đặt:

\[
5(x^2 + y^2 + \frac{8}{5}xy) = 5(x + y)^2
\]

Tuy nhiên, vì có thêm các hạng tử khác nên ta phải kiểm tra xem làm thế nào để hoàn thành bình phương cho toàn bộ biểu thức.

### 4. **Phân tích và thử nghiệm giá trị cụ thể**

Thay thế các giá trị cụ thể để kiểm tra. Đặt \( x = 0 \), \( y = 0 \), và \( z = 0 \):

\[
5(0)^2 + 5(0)^2 + (0)^2 + 8(0)(0) + 4(0)(0) + 2(0) - 2(0) + 2 = 2
\]

Không đúng. Do đó, thử các giá trị khác. Ta thử:

- Đặt \(x = 1\), \(y = -1\), và \(z = 0\):

\[
5(1)^2 + 5(-1)^2 + (0)^2 + 8(1)(-1) + 4(-1)(0) + 2(1) - 2(-1) + 2
\]

Tính:

\[
5 \cdot 1 + 5 \cdot 1 + 0 - 8 + 0 + 2 + 2 + 2
\]

\[
5 + 5 - 8 + 2 + 2 + 2 = 0
\]

Điều này cho thấy giá trị \(x = 1\), \(y = -1\), và \(z = 0\) thỏa mãn biểu thức.

### **Kết quả:**

Giá trị của \(x\), \(y\), và \(z\) thỏa mãn biểu thức \(5x^2 + 5y^2 + z^2 + 8xy + 4yz + 2x - 2y + 2 = 0\) là:

\[
x = 1, \quad y = -1, \quad z = 0
\]