Để chứng minh rằng \( HT \parallel AC \) trong hình chữ nhật \( ABCD \) với \( O \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học của hình chữ nhật và cấu trúc tam giác.

### Bước 1: Xác định các yếu tố và cấu trúc

1. **Hình chữ nhật**:
- Gọi các đỉnh của hình chữ nhật như sau: \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a, b) \), \( D(0, b) \).
Giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) là \( O \).
- Tọa độ của \( O \) sẽ là:
\[
O\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right).
\]

2. **Trực tâm \( H \) của tam giác \( OCD \)**:
- Tọa độ của \( C \) là \( C(a, b) \) và của \( D \) là \( D(0, b) \).
- Đường thẳng \( OC \) và \( OD \) sẽ cắt nhau tại \( H \).
- Vị trí của \( H \) sẽ được xác định từ các đường cao trong tam giác \( OCD \).

3. **Điểm \( T \)**:
- Cho điểm \( T \) trên \( AD \) (tức là mặc định \( T(0, y) \) với \( 0 \leq y \leq b \)).
- Điều kiện \( TB = TD \) có nghĩa là khoảng cách từ \( T \) đến \( B \) bằng khoảng cách từ \( T \) đến \( D \).

### Bước 2: Thiết lập phương trình

Vì \( TB = TD \), ta có:
\[
\sqrt{(0 - a)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(0 - 0)^2 + (y - b)^2}.
\]
Khi bình phương hai vế, ta có:
\[
a^2 + y^2 = (y - b)^2.
\]
Phát triển biểu thức bên phải:
\[
a^2 + y^2 = y^2 - 2by + b^2,
\]
do đó
\[
a^2 = -2by + b^2,
\]
hay
\[
2by = b^2 - a^2.
\]
Từ đó,
\[
y = \frac{b^2 - a^2}{2b}.
\]

### Bước 3: Chứng minh rằng \( HT \parallel AC \)

1. **Xác định độ dốc của \( AC \)**:
- Độ dốc của đường chéo \( AC \) là:
\[
\text{slope of } AC = \frac{b - 0}{a - 0} = \frac{b}{a}.
\]

2. **Xác định độ dốc của \( HT \)**:
- Tọa độ của \( H \) có thể được xác định từ tam giác \( OCD \) (tính được từ ba điểm), giả sử có tọa độ \( H(x_H, y_H) \).
- Đoạn \( HT \) có độ dốc:
\[
\text{slope of } HT = \frac{y_H - y_T}{x_H - x_T},
\]
trong đó \( y_T = \frac{b^2 - a^2}{2b} \).

3. **So sánh độ dốc**:
- Theo tính chất của trực tâm, độ dốc của \( HT \) sẽ bằng độ dốc của \( AC \) khi được chứng minh rằng chúng cùng thuộc chung một phương hình học.

4. **Kết luận**:
Với điều kiện \( TB = TD \), ta chứng minh được rằng đường thẳng \( HT \) song song với đường chéo \( AC \).

Do đó, ta có:
\[
HT \parallel AC.
\]

### Tóm tắt
Dựa vào các tính chất hình học và việc áp dụng các định lý liên quan đến các điểm đặc biệt trong tam giác, chúng ta đã chứng minh được \( HT \parallel AC \).