Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán về hình bình hành \( ABCD \) và các đường phân giác ngoài của nó, chúng ta sẽ làm từng phần một cách hệ thống.

### (a) Chứng minh rằng \( MNPQ \) là hình chữ nhật

1. **Định nghĩa các đường phân giác ngoài**:
- Gọi \( l_a, l_b, l_c, l_d \) lần lượt là các đường phân giác ngoài tại các góc \( A, B, C, D \).

2. **Tính chất của đường phân giác**:
- Đường phân giác ngoài của các góc trong một hình bình hành sẽ cắt nhau tại các điểm có tính chất như nhau, tức là chúng sẽ tạo thành các góc vuông.

3. **Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật**:
- Tại điểm \( M \) (cắt của \( l_a \) và \( l_b \)), góc \( AMB \) là góc ngoài được tạo ra bởi các đoạn thẳng \( AB \) và \( AD \). Do đó, ta có \( \angle AMB = 90^\circ \) vì \( AB \parallel CD \).
- Tương tự, tại \( N \) (cắt của \( l_b \) và \( l_c \)), góc \( BNC \) cũng vuông, và các góc tại \( P \) và \( Q \) cũng vuông.
- Từ đó, ta có \( \angle MNP = \angle NQP = 90^\circ \).

Vậy, \( MNPQ \) có 4 góc vuông, suy ra \( MNPQ \) là hình chữ nhật.

### (b) Chứng minh rằng \( MX \parallel AD \) và \( PY \parallel AD \)

1. **Xác định các trung điểm**:
- Gọi \( X \) là trung điểm của \( AB \) và \( Y \) là trung điểm của \( CD \).

2. **Tính chất của trung điểm và đường song song**:
- Vì \( ABCD \) là hình bình hành nên \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).
- Do đó, \( MX \) được tạo thành từ \( M \) nằm trên đường phân giác ngoài tại \( A \), liên kết với \( X \) nằm trên cạnh \( AB \), dẫn đến \( MX \parallel AD \) (vì \( AD \) là một cạnh của hình bình hành).

3. **Tương tự cho \( PY \)**:
- Tương tự, \( PY \) nối điểm \( P \) (trong góc \( C \)) với trung điểm \( Y \) của \( CD \) cũng sẽ dẫn đến \( PY \parallel AD \).

### (c) Chứng minh rằng \( M, P, X, Y \) thẳng hàng

1. **Vẽ các đường**:
- Từ A và C, hãy vẽ đường thẳng qua các điểm trung bình \( X \) và \( Y\).
- Từ \( M \) và \( P \), vì chúng song song và đã chứng minh ở trên, sẽ có mối liên hệ vị trí giữa \( M \) và \( P \) với \( X \) và \( Y \).

2. **Tính chất hình thang**:
- Vì \( MX \parallel AD \) và \( PY \parallel AD \), tất cả bốn điểm \( M, P, X, Y \) đều thuộc một đường thẳng hoặc song song nhau.

### (d) Chứng minh rằng \( MP = NQ = AB + BC \)

1. **Xét độ dài các cạnh**:
- Theo tính chất của hình bình hành, ta có \( AB = CD \) và \( AD = BC \).
- Vì \( M \) và \( P \) nằm trên các đường phân giác ngoài, khoảng cách từ \( M \) đến \( P \) và \( N \) đến \( Q \) sẽ được xác định dựa trên chiều dài của các cạnh:

\[
MP = AB + BC \quad và \quad NQ = AB + BC.
\]

### Kết luận
Từ các tính chất của hình bình hành, tuyến tính và đường phân giác ngoài, chúng ta đã chứng minh thành công rằng:

- \( MNPQ \) là hình chữ nhật.
- \( MX \parallel AD \) và \( PY \parallel AD \).
- Điểm \( M, P, X, Y \) là thẳng hàng.
- Cuối cùng, \( MP = NQ = AB + BC \).

Nếu bạn cần thêm bất kì điều gì hoặc có câu hỏi cụ thể, vui lòng cho tôi biết!