Để chứng minh các phần của bài toán, ta hãy xem xét tam giác \( ABC \) với \( AB < AC \) và các điểm \( D \) và \( E \) như mô tả. Chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần.

### a) Chứng minh tam giác \( ABD \) bằng tam giác \( AED \)

**Dữ kiện:**
- \( AB = AE \) (theo yêu cầu đề bài).
- \( AD \) là tia phân giác của góc \( BAC \), tức là \( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \).

**Chứng minh:**
- Ta có \( AD \) là tia phân giác, nên:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}.
\]
- Gọi \( AD \) cắt \( BC \) tại \( D \).
- Với \( E \) trên cạnh \( AC \) sao cho \( AE = AB \), ta có:
- Trong tam giác \( ABD \) và tam giác \( AED \), có \( AB = AE \).
- \( AD \) là chung.
- Do \( \angle ABD = \angle AED \) (cung đối).

Áp dụng tiêu chuẩn cạnh – cạnh – cạnh (CCC):
- Ta có \( \Delta ABD \cong \Delta AED \).

### b) Chứng minh tam giác \( BDK \) bằng tam giác \( EDC \)

**Giả thiết:**
- \( K \) là giao điểm của \( AB \) và \( ED \).

**Chứng minh:**
- Ta có tam giác \( ABD \cong AED \) từ phần (a), suy ra \( \angle ABD = \angle AED \).
- \( \angle BDA = \angle EDA \) (bởi vì \( AD \) là chung).
- Từ đó suy ra:
\[
\angle BDK = \angle EDC
\]
(do \( K \) là điểm thuộc trên \( AB \) và \( ED \)).

Áp dụng tiêu chuẩn góc – cạnh – góc (ACA):
- Ta có \( \Delta BDK \cong \Delta EDC \).

### c) Chứng minh \( AB + AC > KE \)

**Giải thích:**
1. Chúng ta biết rằng \( AE = AB \).
2. Trong tam giác \( AEC \):
- Theo định lý tam giác:
\[
AB + AC > AE
\]
do \( AC > AB \) (theo giả thiết).
3. Gọi đoạn thẳng \( KE \) là khoảng cách từ điểm \( K \) đến điểm \( E \).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho \( \Delta ABE \):
\[
AB + KE > AE
\]
Nhưng vì \( AE = AB \):
\[
AB + KE > AB
\]
Suy ra \( KE > 0 \).

Vì \( AC > AB \), ta có:
\[
AB + AC > KE
\]

### Kết luận:
- Ta đã chứng minh rằng:
1. \( \Delta ABD \cong \Delta AED \).
2. \( \Delta BDK \cong \Delta EDC \).
3. \( AB + AC > KE \).

Các chứng minh này có thể được thực hiện bằng cách vẽ hình và sử dụng các quy tắc hình học cơ bản để hỗ trợ trực quan hơn.