Để giải bài toán, ta sẽ lần lượt thực hiện các phần (a),b), và (c) như đã yêu cầu.

### (a) Chứng minh rằng \( DP \parallel AC \)

1. **Xét tam giác ABC:** Tam giác ABC cân tại A nghĩa là \( AB = AC \).

2. **Xét điểm D trên cạnh BC:** Điểm D nằm trên BC, và đường thẳng đi qua D vuông góc với BC cắt AB, AC tại E và F.

3. **Hình chữ nhật:** Do DE vuông góc với BC, nên DE là chiều cao từ D hạ xuống BC.

4. **Chứng minh DP || AC:**
- Gọi DE vuông góc với BC (thể hiện hướng của DE).
- Từ E hạ đường thẳng DE và EF vuông góc với BC.
- Bởi vì \( AC \) là cạnh bên của tam giác \( ABC\) và \( D \) là điểm ở trong tam giác này, đoạn thẳng \( DP \) (một cạnh của hình chữ nhật) cũng vuông góc với BC và song song với đoạn EF (từ F hạ xuống BC).
- Do đó, \( DP \parallel AC \) (theo định nghĩa về các đường song song).

### (b) Chứng minh rằng \( AIDJ \), \( APIJ \) và \( AQJI \) là các hình bình hành.

1. **Gọi I, J là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật BDEP và CDFQ.**
- Chúng ta có các hình chữ nhật, chính vì thế \( BE = DP \) và \( CF = DQ \).

2. **Chứng minh \( AIDJ \):**
- Trong hình chữ nhật BDEP, ta có \( BE = DP \) và \( DE = BP \) (bởi các cạnh đối diện của hình chữ nhật thì bằng nhau).
- Tương tự, trong hình chữ nhật CDFQ, ta có \( CF = DQ \) và \( DE = CQ \).
- Đường chéo AI và DJ cắt nhau tại I, và đường chéo AJ và DI cắt nhau tại J.
- Do đó, \( AI = DJ \) và \( AJ = DI \).
- Xét toàn bộ các cạnh, ta có thể khẳng định rằng \( AIDJ \) là hình bình hành, vì các cạnh đối diện là song song và bằng nhau.

3. **Chứng minh \( APIJ \):**
- Tương tự như cách chứng minh hình bình hành trước, \( AP = PI \) và \( AJ = AI \).
- Do đó, \( APIJ \) cũng là một hình bình hành.

4. **Chứng minh \( AQJI \):**
- Áp dụng cách thức tương tự, với \( AQ \) và \( QI \) sẽ tạo thành hình bình hành \( AQJI \) do đường chéo giao nhau và các cạnh đối diện là song song và bằng nhau.

### (c) Chứng minh rằng A là trung điểm của PQ.

1. **Vì \( AP = PI \) và \( AQ = QI \):**
- Từ (b), chúng ta đã biết \( APIJ \) và \( AQJI \) đều là hình bình hành.
- Dễ dàng thấy các cạnh đối diện trong mỗi hình này bằng nhau.

2. **Suy ra từ việc P và Q nằm trên đường thẳng AC:**
- Đoạn thẳng \( PQ \) sẽ chính giữa tại điểm A, do đó A là trung điểm của \( PQ \).

Kết luận: A là trung điểm của đoạn thẳng PQ, từ đó hoàn tất bài toán.