Để tìm giá trị của \(\mathbf{AD} + \mathbf{D1C1} + \mathbf{D1A1}\), ta sẽ sử dụng các thuộc tính của hình hộp chữ nhật và tính chất của vectơ trong không gian ba chiều.

### Các Định Nghĩa và Thuộc Tính của Hình Hộp

- **Hình hộp chữ nhật** có các mặt đối diện song song và bằng nhau, với các cạnh thẳng và vuông góc.
- **Các đỉnh của hình hộp**:
- Mặt đáy: \(A, B, C, D\)
- Mặt trên (đối diện mặt đáy): \(A1, B1, C1, D1\)

### Các Vectơ Được Cho

1. **Vectơ \(\mathbf{AD}\)**:
- Là vectơ từ điểm \(A\) đến điểm \(D\) trong mặt đáy của hình hộp.

2. **Vectơ \(\mathbf{D1C1}\)**:
- Là vectơ từ điểm \(D1\) đến điểm \(C1\) trên mặt trên của hình hộp.

3. **Vectơ \(\mathbf{D1A1}\)**:
- Là vectơ từ điểm \(D1\) đến điểm \(A1\) trên mặt trên của hình hộp.

### Tính Tổng Vectơ

Để tính tổng của các vectơ \(\mathbf{AD}\), \(\mathbf{D1C1}\) và \(\mathbf{D1A1}\), ta sẽ viết các vectơ theo các hướng của chúng trong không gian.

**1. Vectơ \(\mathbf{AD}\)**:
- Vectơ từ \(A\) đến \(D\) nằm trong mặt đáy.

**2. Vectơ \(\mathbf{D1C1}\)**:
- Vectơ từ \(D1\) đến \(C1\) nằm trên mặt trên.

**3. Vectơ \(\mathbf{D1A1}\)**:
- Vectơ từ \(D1\) đến \(A1\) nằm trên mặt trên.

### Biểu Diễn Về Mặt Không Gian

Hãy biểu diễn tổng vectơ trong không gian ba chiều:
1. **Vectơ \(\mathbf{AD}\)** là một vectơ nằm trong mặt đáy và có thể được coi là kéo dài từ điểm \(A\) đến \(D\).
2. **Vectơ \(\mathbf{D1C1}\)** là một vectơ nằm trên mặt trên và kéo dài từ \(D1\) đến \(C1\).
3. **Vectơ \(\mathbf{D1A1}\)** là một vectơ nằm trên mặt trên và kéo dài từ \(D1\) đến \(A1\).

### Tổng Hướng Vectơ

Lưu ý rằng trong không gian ba chiều, các vectơ \(\mathbf{D1C1}\) và \(\mathbf{D1A1}\) sẽ cùng nằm trên mặt trên của hình hộp và hình thành một đoạn thẳng với vectơ \(\mathbf{AD}\) khi tổng hợp:

\[
\mathbf{AD} + \mathbf{D1C1} + \mathbf{D1A1}
\]

Ta có thể tưởng tượng rằng khi dịch chuyển theo vectơ \(\mathbf{AD}\), rồi từ điểm \(D\) dịch chuyển đến điểm \(D1\), từ đó dịch chuyển theo \(\mathbf{D1C1}\) và sau đó dịch chuyển tiếp theo \(\mathbf{D1A1}\), ta quay về điểm \(A\) hoặc điểm đối diện. Nói cách khác, kết quả cuối cùng là một vectơ từ điểm \(A\) tới điểm \(C1\).

### Kết Luận

Vì các vectơ \(\mathbf{AD}\), \(\mathbf{D1C1}\), và \(\mathbf{D1A1}\) tạo thành một chuỗi các dịch chuyển mà kết quả là một vectơ từ điểm \(A\) đến điểm \(C1\) qua điểm \(D1\), tổng của chúng bằng:

\[
\mathbf{AD} + \mathbf{D1C1} + \mathbf{D1A1} = \mathbf{AC1}
\]

Vậy kết quả của \(\mathbf{AD} + \mathbf{D1C1} + \mathbf{D1A1}\) là:

\[
\mathbf{AC1}
\]