Để kiểm tra mệnh đề \(\mathbf{BC} + \mathbf{BA} = \mathbf{B1C1} + \mathbf{B1A1}\), ta sẽ sử dụng các thuộc tính cơ bản của hình hộp chữ nhật và các vectơ.

### Định nghĩa và Thuộc tính của Hình Hộp

Trong một hình hộp chữ nhật, chúng ta có các cặp đối xứng và các cạnh song song với nhau. Gọi các đỉnh của hình hộp là:

- \(A, B, C, D\) là các đỉnh của mặt đáy
- \(A1, B1, C1, D1\) là các đỉnh của mặt trên (đối diện với mặt đáy)

Các cạnh của hình hộp sẽ có các thuộc tính sau:

- Các cạnh trên và dưới song song với nhau.
- Các cạnh bên cũng song song với nhau.

### Vectơ trong Hình Hộp

- \(\mathbf{BC}\) là vectơ từ điểm \(B\) đến điểm \(C\).
- \(\mathbf{BA}\) là vectơ từ điểm \(B\) đến điểm \(A\).
- \(\mathbf{B1C1}\) là vectơ từ điểm \(B1\) đến điểm \(C1\).
- \(\mathbf{B1A1}\) là vectơ từ điểm \(B1\) đến điểm \(A1\).

### Phân Tích

1. **Tính Vectơ \(\mathbf{BC} + \mathbf{BA}\):**

\(\mathbf{BC}\) và \(\mathbf{BA}\) là các vectơ trong mặt đáy của hình hộp. Cụ thể:

- \(\mathbf{BC}\) nằm trên cạnh của hình hộp.
- \(\mathbf{BA}\) nằm trên cạnh của hình hộp.

Do đó, tổng của \(\mathbf{BC}\) và \(\mathbf{BA}\) sẽ là vectơ nằm trong mặt đáy của hình hộp.

2. **Tính Vectơ \(\mathbf{B1C1} + \mathbf{B1A1}\):**

- \(\mathbf{B1C1}\) là vectơ trên mặt trên của hình hộp, từ \(B1\) đến \(C1\).
- \(\mathbf{B1A1}\) là vectơ trên mặt trên của hình hộp, từ \(B1\) đến \(A1\).

Tổng \(\mathbf{B1C1} + \mathbf{B1A1}\) sẽ nằm trong mặt trên của hình hộp.

### So Sánh

Ta cần kiểm tra xem tổng vectơ trên mặt đáy có bằng tổng vectơ trên mặt trên không.

Khi chuyển từ mặt đáy lên mặt trên, các vectơ này tương ứng với cùng một số lượng dịch chuyển về không gian, chỉ khác là chúng nằm trên các mặt khác nhau (mặt đáy và mặt trên).

**Về mặt hình học:**

- Vectơ \(\mathbf{BC} + \mathbf{BA}\) biểu diễn một đoạn thẳng và một vectơ trong mặt đáy.
- Vectơ \(\mathbf{B1C1} + \mathbf{B1A1}\) biểu diễn một đoạn thẳng và một vectơ trong mặt trên.

Các vectơ này là tương đương nếu chúng cùng biểu diễn một hình dạng không gian giống nhau và được chuyển từ mặt này sang mặt kia, tức là trong cùng một không gian với cùng một chiều dài và hướng.

**Kết luận:**

Mệnh đề \(\mathbf{BC} + \mathbf{BA} = \mathbf{B1C1} + \mathbf{B1A1}\) **đúng** trong không gian ba chiều. Vì các vectơ tương ứng trên các mặt đối diện của hình hộp là tương đương và dịch chuyển cùng một lượng về không gian ba chiều.