Để giải bài toán này, ta cần phân tích các phép biến đổi để xem liệu có khả năng nào tạo ra ba số \(7\), \(-1\), và \(1\) trên bảng hay không.

### Phép biến đổi:

Giả sử \( a \) và \( b \) là hai số bất kỳ trên bảng. Sau mỗi lần biến đổi, ta có:

1. Thay \( a \) và \( b \) bởi \( \frac{3a + 46}{5} \) và \( \frac{4a - 3b}{5} \).

### Xét tổng ba số:

Giả sử ba số trên bảng là \( x_1 \), \( x_2 \), và \( x_3 \).

Tổng của chúng là:

\[
S = x_1 + x_2 + x_3
\]

Sau khi biến đổi, nếu ta thay \( x_1 \) và \( x_2 \) bằng \( \frac{3x_1 + 46}{5} \) và \( \frac{4x_1 - 3x_2}{5} \), thì tổng mới sẽ là:

\[
S' = \left(\frac{3x_1 + 46}{5}\right) + \left(\frac{4x_1 - 3x_2}{5}\right) + x_3
\]

Ta tính tổng này:

\[
S' = \frac{3x_1 + 46 + 4x_1 - 3x_2}{5} + x_3 = \frac{7x_1 - 3x_2 + 46}{5} + x_3
\]

Do đó, sự thay đổi tổng là từ \( S \) sang \( S' \):

\[
S' = \frac{7x_1 - 3x_2 + 46}{5} + x_3
\]

Để dễ kiểm tra, ta phân tích tổng ban đầu khi \( x_1 = 3 \), \( x_2 = 4 \), và \( x_3 = 5 \):

\[
S = 3 + 4 + 5 = 12
\]

Giả sử sau một loạt biến đổi, ta muốn đạt được các số \( 7 \), \( -1 \), và \( 1 \), thì tổng \( S \) sẽ là:

\[
S = 7 + (-1) + 1 = 7
\]

### Xét khả năng:

Từ tổng \( S = 12 \) ban đầu, thực hiện các phép biến đổi liên tục, chúng ta thấy rằng không có cách nào để tổng \( S \) giảm từ 12 xuống 7 vì các phép biến đổi sẽ luôn duy trì sự phụ thuộc tuyến tính của tổng ban đầu (tổng luôn liên quan đến các phép biến đổi theo công thức trên). Ngoài ra, các số \( 7 \), \( -1 \), và \( 1 \) có sự phân bố số hạng không hợp lý với sự thay đổi tuyến tính này.

### Kết luận:

Do đó, **không thể** có thời điểm trên bảng xuất hiện đồng thời ba số \(7\), \(-1\), và \(1\).

Để giải quyết bài toán này, ta cần xem xét phép biến đổi trên bảng. Mỗi lần, ta chọn hai số \( a \) và \( b \) trên bảng và thay chúng bằng hai số mới được xác định bởi các công thức:

\[
x_1' = \frac{3a + 4b}{5}, \quad x_2' = \frac{4a - 3b}{5}
\]

Chúng ta cần xác định xem có khi nào sau một số lần thực hiện phép biến đổi trên, bảng sẽ xuất hiện ba số \( 7, -1, 1 \) hay không.

### Bước 1: Tìm công thức tổng quát của phép biến đổi
Giả sử ban đầu có các số \( x_1 = 3 \), \( x_2 = 4 \), và \( x_3 = 5 \). Sau một phép biến đổi, các số thay đổi thành \( x_1', x_2' \), với:

\[
x_1' = \frac{3x_1 + 4x_2}{5}, \quad x_2' = \frac{4x_1 - 3x_2}{5}
\]

Lần lượt thực hiện phép biến đổi trên hai số, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc này nhiều lần và theo dõi các số trên bảng.

### Bước 2: Tính bảo toàn hoặc không bảo toàn
Xét tổng của các số ban đầu:

\[
S = x_1 + x_2 + x_3 = 3 + 4 + 5 = 12
\]

Tổng sau mỗi phép biến đổi là:

\[
S' = x_1' + x_2' + x_3' = \left(\frac{3x_1 + 4x_2}{5}\right) + \left(\frac{4x_1 - 3x_2}{5}\right) + x_3 = x_1 + x_2 + x_3 = S
\]

Vậy tổng các số trên bảng sau mỗi phép biến đổi luôn bằng 12. Nhưng tổng \( 7 + (-1) + 1 = 7 \), khác 12. Vì vậy, sau bất kỳ số lần biến đổi nào, bảng không thể có ba số \( 7, -1, 1 \).

### Kết luận:
Không có trường hợp nào sau một số lần thực hiện phép biến đổi, bảng xuất hiện đồng thời ba số \( 7, -1, 1 \).