Để giải bài toán với tam giác \( ABC \) trong đó có góc \( A = 90^\circ \), chúng ta sẽ thực hiện từng phần:

### a) Chứng minh tam giác \( ABD \cong \) tam giác \( ABE \) và tam giác \( BDE \) đều

1. **Tam giác \( ABD \) và tam giác \( ABE \)**:
- Độ dài \( AE = \frac{1}{3}AC \).
- \( AD = AE = \frac{1}{3}AC\) (vì \( AD = AE \)).
- Góc \( A \) chung cho cả hai tam giác.

Suy ra:
- Hai cạnh \( AB \) là chung và \( AD = AE \).
- Tam giác \( ABD \cong \) tam giác \( ABE \) theo tiêu chuẩn \( \text{cạnh - cạnh - cạnh (CCC)} \).

2. **Tam giác \( BDE \) đều**:
- Cạnh \( BD = AD = AE \).
- Cạnh \( EB \) được cho là bằng cạnh \( EC \), tức là \( EB = EC \).

Từ đó, vì tất cả các cạnh đều bằng nhau, ta có:
- Tam giác \( BDE \) là tam giác đều.

### b) Chứng minh \( BE \) là phân giác của góc \( ABC \)

Để chứng minh rằng \( BE \) là phân giác của góc \( ABC \), theo điều kiện \( EB = EC \), chúng ta có:

- Cả hai đoạn thẳng \( EB \) và \( EC \) đều bằng nhau.
- Do đó, \( BE \) chia góc \( ABC \) thành hai góc bằng nhau, tức là:

\[
\angle ABE = \angle CBE
\]

=> Suy ra \( BE \) là phân giác của góc \( ABC \).

### c) Chứng minh \( BD \) vuông góc với \( BC \)

Vì \( D \) nằm trên tia đối của \( AE \) và \( AD = AE \), thì \( A \) và \( D \) sẽ tạo thành một đường thẳng vuông góc với \( BC \). Rectangle \( ABCD \) cũng cho thấy rằng \( BD \) vuông góc với \( BC \).

Suy ra:

\[
\angle BDC = 90^\circ
\]

### d) Kẻ \( EK \) vuông góc với \( BC \) tại \( K \) và chứng minh \( KB = KC \)

1. **Kẻ \( EK \) vuông góc với \( BC \)**:
- Kẻ đường thẳng \( EK \) sao cho \( EK \perp BC \).

2. **Chứng minh \( KB = KC \)**:
- Tam giác \( BEC \) có cạnh \( EB = EC \) từ lý thuyết phía trước (vì \( BE \) là phân giác).
- Do \( EK \) vuông góc với \( BC \), nên \( K \) sẽ là chân đường vuông góc từ \( E \) đến \( BC \).
- Vì \( EK \) chia đoạn thẳng \( BC \) thành hai phần bằng nhau:

\[
KB = KC
\]

Tóm lại, tất cả các phần của bài toán đã được chứng minh, và chúng ta đã hoàn thành bài tập!