Để chứng minh các mệnh đề trên, ta sẽ sử dụng **định lý Dirichlet** (còn gọi là **nguyên lý chuồng bồ câu**), kết hợp với một số tính chất của số chính phương trong toán học.

### 1. **Chứng minh phần a): Trong 3 số chính phương bất kỳ, luôn có 2 số có hiệu chia hết cho 3.**

#### Giải thích:
- Một số nguyên \( n \) có thể có 3 dạng khi chia cho 3:
- \( n \equiv 0 \mod 3 \)
- \( n \equiv 1 \mod 3 \)
- \( n \equiv 2 \mod 3 \)

- Khi đó, ta xét các số chính phương \( n^2 \mod 3 \):
- Nếu \( n \equiv 0 \mod 3 \) thì \( n^2 \equiv 0 \mod 3 \)
- Nếu \( n \equiv 1 \mod 3 \) thì \( n^2 \equiv 1 \mod 3 \)
- Nếu \( n \equiv 2 \mod 3 \) thì \( n^2 \equiv 4 \equiv 1 \mod 3 \)

=> Số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.

#### Ứng dụng định lý Dirichlet:
- Khi có 3 số chính phương, mỗi số chính phương chỉ có thể là \( 0 \) hoặc \( 1 \) khi chia cho 3.
- Theo nguyên lý Dirichlet, nếu ta chọn 3 số trong hai phần dư (0 hoặc 1), thì phải có ít nhất 2 số có cùng phần dư.

=> Hiệu của hai số đó sẽ chia hết cho 3.

### **Kết luận:** Trong 3 số chính phương bất kỳ, luôn có 2 số có hiệu chia hết cho 3.

### 2. **Chứng minh phần b): Trong 5 số chính phương bất kỳ, luôn có 2 số có hiệu chia hết cho 12.**

#### Giải thích:
- Một số nguyên \( n \) có thể có 4 dạng khi chia cho 4:
- \( n \equiv 0 \mod 4 \)
- \( n \equiv 1 \mod 4 \)
- \( n \equiv 2 \mod 4 \)
- \( n \equiv 3 \mod 4 \)

- Khi đó, ta xét các số chính phương \( n^2 \mod 4 \):
- Nếu \( n \equiv 0 \mod 4 \) thì \( n^2 \equiv 0 \mod 4 \)
- Nếu \( n \equiv 1 \mod 4 \) thì \( n^2 \equiv 1 \mod 4 \)
- Nếu \( n \equiv 2 \mod 4 \) thì \( n^2 \equiv 0 \mod 4 \)
- Nếu \( n \equiv 3 \mod 4 \) thì \( n^2 \equiv 1 \mod 4 \)

=> Số chính phương khi chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.

- Tương tự, khi xét số chính phương chia cho 3, ta có:
- \( n \equiv 0, 1, 2 \mod 3 \) thì \( n^2 \mod 3 \) chỉ có thể là \( 0 \) hoặc \( 1 \).

#### Ứng dụng định lý Dirichlet:
- Theo nguyên lý Dirichlet, với 5 số chính phương và chỉ có 4 khả năng phần dư \( (0, 1, 4, 9) \) khi chia cho 12, ít nhất sẽ có 2 số chính phương có cùng dư số khi chia cho 12.
- Khi đó, hiệu của hai số này sẽ chia hết cho 12.

### **Kết luận:** Trong 5 số chính phương bất kỳ, luôn có 2 số có hiệu chia hết cho 12.

### 3. **Chứng minh phần c): Trong 7 số chính phương bất kỳ, luôn có 2 số có hiệu chia hết cho 10.**

#### Giải thích:
- Xét \( n^2 \mod 10 \), ta có:
- Nếu \( n \equiv 0 \mod 10 \) thì \( n^2 \equiv 0 \mod 10 \)
- Nếu \( n \equiv 1 \mod 10 \) thì \( n^2 \equiv 1 \mod 10 \)
- Nếu \( n \equiv 2 \mod 10 \) thì \( n^2 \equiv 4 \mod 10 \)
- Nếu \( n \equiv 3 \mod 10 \) thì \( n^2 \equiv 9 \mod 10 \)
- Nếu \( n \equiv 4 \mod 10 \) thì \( n^2 \equiv 6 \mod 10 \)
- Nếu \( n \equiv 5 \mod 10 \) thì \( n^2 \equiv 5 \mod 10 \)
- Nếu \( n \equiv 6 \mod 10 \) thì \( n^2 \equiv 6 \mod 10 \)
- Nếu \( n \equiv 7 \mod 10 \) thì \( n^2 \equiv 9 \mod 10 \)
- Nếu \( n \equiv 8 \mod 10 \) thì \( n^2 \equiv 4 \mod 10 \)
- Nếu \( n \equiv 9 \mod 10 \) thì \( n^2 \equiv 1 \mod 10 \)

=> Số chính phương khi chia cho 10 chỉ có thể dư 0, 1, 4, 5, 6 hoặc 9.

#### Ứng dụng định lý Dirichlet:
- Theo nguyên lý Dirichlet, với 7 số chính phương và chỉ có 6 khả năng phần dư \( (0, 1, 4, 5, 6, 9) \) khi chia cho 10, ít nhất sẽ có 2 số chính phương có cùng dư số khi chia cho 10.
- Khi đó, hiệu của hai số này sẽ chia hết cho 10.

### **Kết luận:** Trong 7 số chính phương bất kỳ, luôn có 2 số có hiệu chia hết cho 10.