Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán theo thứ tự:

### Phần a: Chứng minh tam giác \( AB = AED \)

1. **Trong tam giác ABC**: Theo định nghĩa của đường phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]
2. **Lấy E sao cho \( AB = AE \)**: Do đó, ta có \( AB = AE \).

3. **Tam giác AED**: Xét tam giác AED có:
- \( AE = AB \) (theo giả thiết).
- \( AD \) là chung giữa cả hai tam giác \( \triangle ABD \) và \( \triangle AED \).

4. **Suy ra**: Tam giác \( \triangle ABD \) và \( \triangle AED \) sẽ có hai cạnh và một góc (cạnh AD) tương ứng. Do đó, theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-góc, ta có:
\[
\triangle ABD \cong \triangle AED
\]

### Phần b: Chứng minh tam giác DBE cân và AD vuông góc với BE tại M

1. **Tam giác DBE**:
- Vì \( AB = AE \) và \( AD \) là đường phân giác của góc \( BAC \), điểm \( D \) là một điểm trên \( BC \).
- Do đó, ta sẽ chứng minh rằng \( BD = DE \).

2. **Giao điểm M của AD và BE**:
- Vì AD là đường phân giác, nên \( M \) chia đoạn \( BE \) thành hai phần tỉ lệ với các cạnh \( AB \) và \( AE \).
\[
\frac{BM}{ME} = \frac{AB}{AE} = 1
\]
- Điều này chứng tỏ \( BM = ME \), nên tam giác \( DBE \) là cân tại M.

3. **Chứng minh AD vuông góc với BE**:
- Theo định lý vuông góc: nếu hai cạnh tỉ lệ đúng theo định lý đường phân giác, thì đường phân giác luôn vuông góc với cạnh đối diện tại giao điểm của chúng, tức là \( AD \perp BE \) tại M.

### Phần c: Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABE và GB = EK

1. **Điểm G thuộc đoạn AM**: Lấy G sao cho \( GA = GK \).

2. **Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABE**:
- Theo định nghĩa trọng tâm, trọng tâm G của tam giác ABE chia đoạn nối từ A tới trọng điểm của BC thành tỷ lệ \( 2:1 \).
- Do đó, với \( GA = GK = x \), ta có:
\[
\text{Trọng tâm G có tính chất } AG : GB = 2 : 1
\]

3. **Chứng minh GB = EK**:
- Xét tam giác ABE và việc sử dụng tính chất của trọng tâm:
\[
GB = \frac{1}{3} \cdot AB = \frac{1}{3} \cdot AE = EK
\]

### Hình vẽ minh họa:

Tạo hình vẽ cho bài toán sẽ làm việc này dễ dàng hơn. Tuy nhiên, vì không hỗ trợ khả năng vẽ, các bạn có thể tự vẽ dựa trên mô tả:

- Vẽ tam giác ABC, trong đó AB < AC. Vẽ đường phân giác AD từ A đến BC tại D.
- Chọn điểm E sao cho AB = AE.
- Vẽ đường thẳng BE và xác định giao điểm M.
- Kẻ GK sao cho G nằm trên đoạn AM và cho GA = GK.

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành bài toán đã được yêu cầu.