Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( C = x^2 - 4xy + 5y^2 + 10x - 22y + 30 \), chúng ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương để đơn giản hóa và tìm giá trị nhỏ nhất.

### Bước 1: Tìm cách nhóm các hạng tử

Nhóm các hạng tử của biểu thức \( C \):

\[
C = x^2 - 4xy + 5y^2 + 10x - 22y + 30
\]

Nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \):

\[
C = (x^2 - 4xy + 5y^2) + 10x - 22y + 30
\]

### Bước 2: Hoàn thành bình phương cho phần liên quan đến \( x \) và \( y \)

Xét phần \( x^2 - 4xy + 5y^2 \). Chúng ta muốn đưa phần này thành một bình phương:

\[
x^2 - 4xy + 5y^2
\]

Để hoàn thành bình phương, chúng ta thêm và bớt một hạng tử phù hợp:

\[
x^2 - 4xy + 4y^2 + y^2 = (x - 2y)^2 + y^2
\]

Vậy:

\[
x^2 - 4xy + 5y^2 = (x - 2y)^2 + y^2
\]

### Bước 3: Thay vào biểu thức chính

Thay vào biểu thức:

\[
C = (x - 2y)^2 + y^2 + 10x - 22y + 30
\]

Tiếp tục làm việc với các hạng tử còn lại:

\[
C = (x - 2y)^2 + y^2 + 10x - 22y + 30
\]

Chúng ta cần thêm một cách đơn giản hóa:

\[
(x - 2y)^2 + y^2 + 10x - 22y + 30
\]

Ta thay \( x = z + 2y \):

\[
(x - 2y) = z
\]

Vậy:

\[
x = z + 2y
\]

Thay vào biểu thức:

\[
C = z^2 + y^2 + 10(z + 2y) - 22y + 30
\]

Tính toán:

\[
C = z^2 + y^2 + 10z + 20y - 22y + 30
\]

\[
C = z^2 + y^2 + 10z - 2y + 30
\]

### Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất

Xét hàm \( f(z, y) = z^2 + y^2 + 10z - 2y + 30 \):

- **Tìm giá trị nhỏ nhất của phần \( z^2 + 10z \):**

\[
z^2 + 10z = (z + 5)^2 - 25
\]

- **Tìm giá trị nhỏ nhất của phần \( y^2 - 2y \):**

\[
y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1
\]

Vậy:

\[
C = (z + 5)^2 - 25 + (y - 1)^2 - 1 + 30
\]

\[
C = (z + 5)^2 + (y - 1)^2 + 4
\]

### Kết luận

Vì \( (z + 5)^2 \geq 0 \) và \( (y - 1)^2 \geq 0 \), giá trị nhỏ nhất của \( C \) là:

\[
C_{\text{min}} = 4
\]

**Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( C \) là \( 4 \).**