### Câu 1: Tính thể tích và diện tích hình phẳng

#### a) Tính thể tích vật thể tròn xoay

Vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), và \( x = 3 \) khi quay quanh trục \( x \) có thể tính bằng công thức thể tích tròn xoay:

\[
V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx
\]

Trong đó, \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 \), \( a = 0 \), và \( b = 3 \). Chúng ta cần tính:

\[
V = \pi \int_{0}^{3} \left(\frac{1}{3}x^3 - x^2\right)^2 \, dx
\]

**Bước 1: Khai triển \( \left(\frac{1}{3}x^3 - x^2\right)^2 \)**

\[
\left(\frac{1}{3}x^3 - x^2\right)^2 = \left(\frac{1}{3}x^3\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{3}x^3 \cdot x^2 + (x^2)^2
\]
\[
= \frac{1}{9}x^6 - \frac{2}{3}x^5 + x^4
\]

**Bước 2: Tính tích phân**

\[
\int_{0}^{3} \left(\frac{1}{9}x^6 - \frac{2}{3}x^5 + x^4\right) \, dx
\]

Tính từng tích phân:

\[
\int_{0}^{3} \frac{1}{9}x^6 \, dx = \frac{1}{9} \cdot \frac{x^7}{7} \bigg|_{0}^{3} = \frac{1}{9} \cdot \frac{2187}{7} = \frac{243}{7}
\]

\[
\int_{0}^{3} -\frac{2}{3}x^5 \, dx = -\frac{2}{3} \cdot \frac{x^6}{6} \bigg|_{0}^{3} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{729}{6} = -243
\]

\[
\int_{0}^{3} x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} \bigg|_{0}^{3} = \frac{243}{5}
\]

**Tổng hợp kết quả:**

\[
\int_{0}^{3} \left(\frac{1}{9}x^6 - \frac{2}{3}x^5 + x^4\right) \, dx = \frac{243}{7} - 243 + \frac{243}{5}
\]

Đưa về mẫu số chung 35:

\[
\frac{243}{7} = \frac{243 \cdot 5}{35} = \frac{1215}{35}
\]
\[
-\frac{243 \cdot 7}{35} = -\frac{1701}{35}
\]
\[
\frac{243}{5} = \frac{243 \cdot 7}{35} = \frac{1701}{35}
\]
\[
\frac{1215}{35} - \frac{1701}{35} + \frac{1701}{35} = \frac{1215}{35} = 34.714
\]

Vậy:

\[
V = \pi \times \frac{243}{35}
\]

### b) Tính diện tích và thể tích hình nón

Cho hình nón có bán kính đáy \( r = 5 \) và độ dài đường sinh \( s = 4 \), ta cần tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón.

**Diện tích xung quanh:**

Diện tích xung quanh của hình nón được tính bằng:

\[
A_{\text{xung quanh}} = \pi r s
\]

Thay số:

\[
A_{\text{xung quanh}} = \pi \times 5 \times 4 = 20 \pi
\]

**Diện tích toàn phần:**

Diện tích toàn phần của hình nón bao gồm diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy:

\[
A_{\text{toàn phần}} = A_{\text{xung quanh}} + \pi r^2
\]

Tính diện tích đáy:

\[
A_{\text{đáy}} = \pi r^2 = \pi \times 5^2 = 25 \pi
\]

Vậy diện tích toàn phần là:

\[
A_{\text{toàn phần}} = 20 \pi + 25 \pi = 45 \pi
\]

**Thể tích:**

Thể tích của hình nón được tính bằng:

\[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
\]

Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông với đường sinh \( s = 4 \) và bán kính đáy \( r = 5 \) để tìm chiều cao \( h \):

\[
s^2 = r^2 + h^2
\]
\[
4^2 = 5^2 + h^2
\]
\[
16 = 25 + h^2
\]
\[
h^2 = 16 - 25 = -9 \text{ (nhầm, điều này không hợp lệ)}
\]

Có thể có lỗi trong dữ liệu. Thay đổi lại chiều cao \( h \) để phù hợp. Hãy kiểm tra lại các thông số.