Để giải các bài toán trên, chúng ta sẽ sử dụng một số công thức đại số cơ bản và các phương pháp giải phương trình.

### Bài 1

Cho \(a + b = 13\) và \(a \cdot b = 40\), biết rằng \(a > b\). Tính \(a^3 - b^3\).

Sử dụng công thức hiệu khối lập phương:

\[
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
\]

**1. Tính \(a - b\):**

Từ \(a + b = 13\) và \(a \cdot b = 40\), ta có phương trình bậc hai:

\[
x^2 - (a + b)x + a \cdot b = 0
\]

\[
x^2 - 13x + 40 = 0
\]

Giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \cdot 40}}{2}
\]

\[
x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 160}}{2}
\]

\[
x = \frac{13 \pm \sqrt{9}}{2}
\]

\[
x = \frac{13 \pm 3}{2}
\]

Vậy, nghiệm của phương trình là:

\[
x = \frac{13 + 3}{2} = 8 \quad \text{và} \quad x = \frac{13 - 3}{2} = 5
\]

Do đó, \(a = 8\) và \(b = 5\) (vì \(a > b\)).

**2. Tính \(a^2 + ab + b^2\):**

\[
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 13^2 - 2 \cdot 40 = 169 - 80 = 89
\]

\[
a^2 + ab + b^2 = a^2 + b^2 + ab = 89 + 40 = 129
\]

**3. Tính \(a^3 - b^3\):**

\[
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) = (8 - 5) \cdot 129 = 3 \cdot 129 = 387
\]

### Bài 2

Cho \(a + b = 25\) và \(a \cdot b = 150\), biết rằng \(a < b\). Tính \(a^5 - b^5\).

**1. Tính \(a\) và \(b\):**

Tương tự, giải phương trình bậc hai:

\[
x^2 - (a + b)x + a \cdot b = 0
\]

\[
x^2 - 25x + 150 = 0
\]

Giải phương trình này:

\[
x = \frac{25 \pm \sqrt{25^2 - 4 \cdot 150}}{2}
\]

\[
x = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 600}}{2}
\]

\[
x = \frac{25 \pm \sqrt{25}}{2}
\]

\[
x = \frac{25 \pm 5}{2}
\]

Vậy, nghiệm của phương trình là:

\[
x = \frac{25 + 5}{2} = 15 \quad \text{và} \quad x = \frac{25 - 5}{2} = 10
\]

Do đó, \(a = 10\) và \(b = 15\) (vì \(a < b\)).

**2. Tính \(a^5 - b^5\):**

Sử dụng công thức hiệu số mũ năm:

\[
a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)
\]

\[
a - b = 10 - 15 = -5
\]

Tính các giá trị của \(a^4\), \(a^3b\), \(a^2b^2\), \(ab^3\), và \(b^4\):

\[
a^4 = 10^4 = 10000
\]

\[
b^4 = 15^4 = 50625
\]

\[
a^3b = 10^3 \cdot 15 = 1000 \cdot 15 = 15000
\]

\[
ab^3 = 10 \cdot 15^3 = 10 \cdot 3375 = 33750
\]

\[
a^2b^2 = 100 \cdot 225 = 22500
\]

Tổng hợp:

\[
a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4 = 10000 + 15000 + 22500 + 33750 + 50625 = 131875
\]

\[
a^5 - b^5 = -5 \cdot 131875 = -659375
\]

### Bài 3

Cho \(a + b = 12\) và \(a \cdot b = 35\). Tính \((a - b)^4\).

**1. Tính \(a - b\):**

Sử dụng công thức:

\[
(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab
\]

\[
(a - b)^2 = 12^2 - 4 \cdot 35 = 144 - 140 = 4
\]

\[
a - b = \pm \sqrt{4} = \pm 2
\]

**2. Tính \((a - b)^4\):**

\[
(a - b)^4 = 2^4 = 16
\]

### Kết luận

1. \(a^3 - b^3 = 387\)
2. \(a^5 - b^5 = -659375\)
3. \((a - b)^4 = 16\)

1. Tính (a^3 - b^3)
Cho (a + b = 13) và (ab = 40). Ta có hằng đẳng thức: [ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) ]

Đầu tiên, ta tính (a - b): [ (a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 13^2 - 4 \cdot 40 = 169 - 160 = 9 ] [ a - b = \sqrt{9} = 3 ]

Tiếp theo, ta tính (a^2 + ab + b^2): [ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 13^2 - 2 \cdot 40 = 169 - 80 = 89 ] [ a^2 + ab + b^2 = a^2 + b^2 + ab = 89 + 40 = 129 ]

Vậy: [ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) = 3 \cdot 129 = 387 ]

2. Tính (a^5 - b^5)
Cho (a + b = 25) và (ab = 150). Ta có hằng đẳng thức: [ a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a2b2 + ab^3 + b^4) ]

Đầu tiên, ta tính (a - b): [ (a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 25^2 - 4 \cdot 150 = 625 - 600 = 25 ] [ a - b = \sqrt{25} = 5 ]

Tiếp theo, ta tính (a^4 + a^3b + a2b2 + ab^3 + b^4): [ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 25^2 - 2 \cdot 150 = 625 - 300 = 325 ] [ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = 25 \cdot (325 - 150) = 25 \cdot 175 = 4375 ] [ a^4 + b^4 = (a^2 + b2)2 - 2(a2b2) = 325^2 - 2 \cdot 150^2 = 105625 - 45000 = 60625 ]

Vậy: [ a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a2b2 + ab^3 + b^4) = 5 \cdot (60625 + 4375) = 5 \cdot 65000 = 325000 ]

3. Tính ((a - b)^4)
Cho (a + b = 12) và (ab = 35). Ta có: [ (a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 12^2 - 4 \cdot 35 = 144 - 140 = 4 ] [ a - b = \sqrt{4} = 2 ]

Vậy: [ (a - b)^4 = (2)^4 = 16 ]