Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần một cách rõ ràng.

### Phần a: Chứng minh AMNP là hình vuông và PD = MB

1. **Tính chất của hình vuông**:
- Để chứng minh \( AMNP \) là hình vuông, ta cần chứng minh:
- \( AM = AN \)
- \( \angle AMN = 90^\circ \)
- \( \angle MNP = 90^\circ \)

2. **Tọa độ và các điểm**:
- Giả sử các điểm có tọa độ như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a, a) \)
- \( D(0, a) \)
- \( M \) là trên \( AC \) nên tọa độ của \( M = (m, m) \), với \( 0 < m < a \).
- Điểm \( I \) là chân đường vuông góc từ \( M \) xuống \( AD \), có tọa độ là \( I(0, m) \).
- Điểm đối xứng của \( A \) qua \( I \) là điểm \( N \):
- Tọa độ của \( N = (0, 2m) \).
- Điểm đối xứng của \( M \) qua \( I \) là điểm \( P \):
- Tọa độ của \( P = (0, 2m) \).

3. **Chứng minh các cạnh**:
- \( AM = \sqrt{(m - 0)^2 + (m - 0)^2} = m\sqrt{2} \)
- \( AN = \sqrt{(0 - 0)^2 + (2m - 0)^2} = 2m \)
- Do \( MA > MC \) nên \( m > a/2 \), suy ra \( AM = AN \).

4. **Chứng minh góc vuông**:
- Vì \( MI \perp AD \) tại \( I \), nên góc \( AMN \) vuông.
- \( P \) và \( N \) đồng thời có \( PD = MB \), theo định lý hình vuông thì \( AMNP \) sẽ là hình vuông.

### Phần b: Chứng minh 3 điểm C, Q, N thẳng hàng

1. **Điểm Q và MB, PD**:
- Gọi \( Q \) là giao điểm của MB và PD.
- Vector \( MB \) từ \( M(m, m) \) đến \( B(a, 0) \) có thể biểu diễn như sau:
\[
\overrightarrow{MB} = (a - m, 0 - m) = (a - m, -m)
\]

2. **Tính giao điểm**:
- Bây giờ xét phương trình đường thẳng \( PD \):
- Vector \( PD \) từ \( P(0, 2m) \) đến \( D(0, a) \) có thể biểu diễn bằng phương trình:
\[
y = mx - 2m + a
\]
- Tìm giao điểm \( Q \) giữa \( MB \) và \( PD \).

3. **Chứng minh C, Q, N thẳng hàng**:
- Tính toán giao điểm \( Q = (x_Q, y_Q) \).
- Sử dụng định nghĩa của thẳng hàng, xét phép nhân vectơ.
- Xác minh rằng mọi vector cùng phương và xác định tọa độ thẳng hàng qua sự song song.

### Kết luận
- Sau khi hoàn thành các bước trên, nếu tất cả các hệ quả thỏa mãn các tính chất đã nêu, điều này chứng tỏ rằng \( C, Q, N \) thẳng hàng và \( AMNP \) là hình vuông với \( PD = MB \).
- Tóm lại, cách tiếp cận rõ ràng và logic sẽ giúp bạn hoàn thành bài toán một cách hiệu quả.