Để giải hệ phương trình:

\[
\frac{3^2 - x + 1}{3^x - 1} = 36
\]

\[
\frac{5^x - 3}{5^{2-x}} = -14
\]

ta sẽ giải từng phương trình một.

### Giải phương trình đầu tiên

Phương trình là:

\[
\frac{3^2 - x + 1}{3^x - 1} = 36
\]

Đầu tiên, đơn giản hóa tử số:

\[
3^2 - x + 1 = 9 - x + 1 = 10 - x
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
\frac{10 - x}{3^x - 1} = 36
\]

Nhân chéo:

\[
10 - x = 36 \cdot (3^x - 1)
\]

\[
10 - x = 36 \cdot 3^x - 36
\]

Chuyển các hạng tử:

\[
10 - x + 36 = 36 \cdot 3^x
\]

\[
46 - x = 36 \cdot 3^x
\]

### Giải phương trình thứ hai

Phương trình là:

\[
\frac{5^x - 3}{5^{2-x}} = -14
\]

Đổi mẫu số \( 5^{2-x} \) thành \( \frac{25}{5^x} \):

\[
\frac{5^x - 3}{\frac{25}{5^x}} = -14
\]

Nhân cả hai vế với \( \frac{25}{5^x} \):

\[
5^x - 3 = -14 \cdot \frac{25}{5^x}
\]

Nhân cả hai vế với \( 5^x \):

\[
5^x \cdot (5^x - 3) = -14 \cdot 25
\]

\[
(5^x)^2 - 3 \cdot 5^x = -350
\]

Chuyển đổi thành phương trình bậc hai:

\[
(5^x)^2 - 3 \cdot 5^x + 350 = 0
\]

### Giải phương trình bậc hai

Gọi \( t = 5^x \):

\[
t^2 - 3t + 350 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm phương trình bậc hai:

\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

với \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = 350 \):

\[
t = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 350}}{2 \cdot 1}
\]

\[
t = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 1400}}{2}
\]

\[
t = \frac{3 \pm \sqrt{-1391}}{2}
\]

Vì \(\sqrt{-1391}\) là một số ảo, không có giá trị thực cho \( t \). Do đó, phương trình bậc hai không có nghiệm thực.

### Tìm nghiệm cho phương trình đầu tiên

Kiểm tra một số giá trị nhỏ của \( x \):

- Với \( x = 0 \):

\[
46 - 0 = 36 \cdot 3^0
\]

\[
46 = 36
\]

Kết quả không đúng.

- Với \( x = 1 \):

\[
46 - 1 = 36 \cdot 3^1
\]

\[
45 = 36 \cdot 3
\]

\[
45 = 108
\]

Kết quả không đúng.

- Với \( x = 2 \):

\[
46 - 2 = 36 \cdot 3^2
\]

\[
44 = 36 \cdot 9
\]

\[
44 = 324
\]

Kết quả không đúng.

- Với \( x = -1 \):

\[
46 - (-1) = 36 \cdot 3^{-1}
\]

\[
47 = 36 \cdot \frac{1}{3}
\]

\[
47 = 12
\]

Kết quả không đúng.

- Với \( x = 3 \):

\[
46 - 3 = 36 \cdot 3^3
\]

\[
43 = 36 \cdot 27
\]

\[
43 = 972
\]

Kết quả không đúng.

Như vậy, các giá trị thử không khớp và phương trình bậc hai không có nghiệm thực. Do đó, không có giá trị thực cho \(x\) mà làm cho cả hai phương trình đều đúng.