Để giải phương trình:

\[
\sqrt{4x^2 - 7x - 2} = 2\sqrt{x^2 - x + 1} - 1
\]

ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Đặt \( t = \sqrt{x^2 - x + 1} \)**:

\[
t^2 = x^2 - x + 1
\]

2. **Biến đổi phương trình:**

\[
\sqrt{4x^2 - 7x - 2} = 2t - 1
\]

Bình phương hai vế để loại bỏ căn bậc hai:

\[
4x^2 - 7x - 2 = (2t - 1)^2
\]

Mở rộng vế phải:

\[
(2t - 1)^2 = 4t^2 - 4t + 1
\]

Ta có:

\[
4x^2 - 7x - 2 = 4t^2 - 4t + 1
\]

3. **Thay \( t^2 \) từ phương trình \( t^2 = x^2 - x + 1 \) vào phương trình này:**

\[
4t^2 = 4(x^2 - x + 1) = 4x^2 - 4x + 4
\]

Thay vào phương trình:

\[
4x^2 - 7x - 2 = 4x^2 - 4x + 4 - 4t + 1
\]

Rút gọn:

\[
-7x - 2 = -4x + 5 - 4t
\]
\[
-7x + 4x = 5 - 2 - 4t
\]
\[
-3x = 3 - 4t
\]
\[
4t = 3 + 3x
\]
\[
t = \frac{3 + 3x}{4}
\]

4. **Thay \( t \) vào phương trình \( t^2 = x^2 - x + 1 \):**

\[
\left(\frac{3 + 3x}{4}\right)^2 = x^2 - x + 1
\]

Mở rộng:

\[
\frac{(3 + 3x)^2}{16} = x^2 - x + 1
\]
\[
\frac{9 + 18x + 9x^2}{16} = x^2 - x + 1
\]
\[
9 + 18x + 9x^2 = 16(x^2 - x + 1)
\]
\[
9 + 18x + 9x^2 = 16x^2 - 16x + 16
\]
\[
9x^2 - 16x^2 + 18x + 16x + 9 - 16 = 0
\]
\[
-7x^2 + 34x - 7 = 0
\]
\[
7x^2 - 34x + 7 = 0
\]

5. **Giải phương trình bậc hai:**

Sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
\[
x = \frac{34 \pm \sqrt{34^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7}}{2 \cdot 7}
\]
\[
x = \frac{34 \pm \sqrt{1156 - 196}}{14}
\]
\[
x = \frac{34 \pm \sqrt{960}}{14}
\]
\[
x = \frac{34 \pm 4\sqrt{60}}{14}
\]
\[
x = \frac{34 \pm 4 \cdot 2 \sqrt{15}}{14}
\]
\[
x = \frac{34 \pm 8 \sqrt{15}}{14}
\]
\[
x = \frac{17 \pm 4 \sqrt{15}}{7}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
x = \frac{17 + 4 \sqrt{15}}{7}
\]
hoặc
\[
x = \frac{17 - 4 \sqrt{15}}{7}
\]

Tuy nhiên, cần kiểm tra từng nghiệm vào phương trình gốc để đảm bảo tính chính xác.