Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để giải bất phương trình \((x+2)^2(x-1)(x+5) + 8 > 0\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định hàm số**:
\[ f(x) = (x+2)^2(x-1)(x+5) + 8 \]

2. **Tìm các điểm cực trị**:
Để tìm điểm cực trị, ta cần tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \) và giải phương trình đạo hàm bằng 0. Đạo hàm của \( f(x) \) là:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ (x+2)^2(x-1)(x+5) + 8 \right]
\]
Sử dụng quy tắc sản phẩm và chuỗi, ta có:
\[
f'(x) = (x+2)^2 \left[ (x-1) \cdot \frac{d}{dx}(x+5) + (x+5) \cdot \frac{d}{dx}(x-1) \right] + 2(x+2)(x-1)(x+5)
\]
\[
f'(x) = (x+2)^2 \left[ (x-1) + (x+5) \right] + 2(x+2)(x-1)(x+5)
\]
\[
f'(x) = (x+2)^2 \cdot (2x + 4) + 2(x+2)(x-1)(x+5)
\]
\[
f'(x) = (x+2)^2 \cdot (2x + 4) + 2(x^3 + 4x^2 - 5x - 10)
\]
\[
f'(x) = 2(x+2)^2 \cdot (x + 2) + 2(x^3 + 4x^2 - 5x - 10)
\]
\[
f'(x) = 2(x+2)^3 + 2(x^3 + 4x^2 - 5x - 10)
\]

Đạo hàm khá phức tạp nên chúng ta sẽ chuyển sang phương pháp phân tích dấu của hàm số.

3. **Phân tích hàm số**:
- **Tại \(x = -2\)**, hàm số có dạng:
\[
f(-2) = (0) \cdot (-3) \cdot 3 + 8 = 8
\]
- **Tại \(x = 1\)**, hàm số có dạng:
\[
f(1) = (3)^2 \cdot 0 \cdot 6 + 8 = 8
\]
- **Tại \(x = -5\)**, hàm số có dạng:
\[
f(-5) = (0) \cdot (-6) \cdot 0 + 8 = 8
\]

4. **Xác định dấu của hàm số**:
Ta thấy rằng \((x+2)^2(x-1)(x+5)\) là một đa thức có bậc lẻ và sẽ có giá trị âm hoặc dương tùy thuộc vào \(x\). Tuy nhiên, vì \((x+2)^2 \geq 0\) và \(8\) là số dương, giá trị hàm số luôn dương bất kể \(x\).

**Kết luận**:
Bất phương trình \((x+2)^2(x-1)(x+5) + 8 > 0\) luôn đúng với mọi giá trị \(x\). Do đó, nghiệm của bất phương trình này là tất cả các số thực, tức là \(\mathbb{R}\).

...Xem thêm

Answer 2

Để giải bất phương trình \((x+2)^2(x-1)(x+5) + 8 > 0\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định hàm số**:
\[ f(x) = (x+2)^2(x-1)(x+5) + 8 \]

2. **Tìm các điểm cực trị**:
Để tìm điểm cực trị, ta cần tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \) và giải phương trình đạo hàm bằng 0. Đạo hàm của \( f(x) \) là:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ (x+2)^2(x-1)(x+5) + 8 \right]
\]
Sử dụng quy tắc sản phẩm và chuỗi, ta có:
\[
f'(x) = (x+2)^2 \left[ (x-1) \cdot \frac{d}{dx}(x+5) + (x+5) \cdot \frac{d}{dx}(x-1) \right] + 2(x+2)(x-1)(x+5)
\]
\[
f'(x) = (x+2)^2 \left[ (x-1) + (x+5) \right] + 2(x+2)(x-1)(x+5)
\]
\[
f'(x) = (x+2)^2 \cdot (2x + 4) + 2(x+2)(x-1)(x+5)
\]
\[
f'(x) = (x+2)^2 \cdot (2x + 4) + 2(x^3 + 4x^2 - 5x - 10)
\]
\[
f'(x) = 2(x+2)^2 \cdot (x + 2) + 2(x^3 + 4x^2 - 5x - 10)
\]
\[
f'(x) = 2(x+2)^3 + 2(x^3 + 4x^2 - 5x - 10)
\]

Đạo hàm khá phức tạp nên chúng ta sẽ chuyển sang phương pháp phân tích dấu của hàm số.

3. **Phân tích hàm số**:
- **Tại \(x = -2\)**, hàm số có dạng:
\[
f(-2) = (0) \cdot (-3) \cdot 3 + 8 = 8
\]
- **Tại \(x = 1\)**, hàm số có dạng:
\[
f(1) = (3)^2 \cdot 0 \cdot 6 + 8 = 8
\]
- **Tại \(x = -5\)**, hàm số có dạng:
\[
f(-5) = (0) \cdot (-6) \cdot 0 + 8 = 8
\]

4. **Xác định dấu của hàm số**:
Ta thấy rằng \((x+2)^2(x-1)(x+5)\) là một đa thức có bậc lẻ và sẽ có giá trị âm hoặc dương tùy thuộc vào \(x\). Tuy nhiên, vì \((x+2)^2 \geq 0\) và \(8\) là số dương, giá trị hàm số luôn dương bất kể \(x\).

**Kết luận**:
Bất phương trình \((x+2)^2(x-1)(x+5) + 8 > 0\) luôn đúng với mọi giá trị \(x\). Do đó, nghiệm của bất phương trình này là tất cả các số thực, tức là \(\mathbb{R}\).

Answer 3

Bất phương trình đã cho là:
\[
(x+2)^2(x-1)(x+5) + 8 > 0
\]

Phân tích dấu của biểu thức \((x+2)^2(x-1)(x+5)\)
Biểu thức này bao gồm các nhân tử:
- \((x+2)^2\) luôn không âm, vì là bình phương của một biểu thức. \((x+2)^2 \geq 0\).
- \((x-1)\) có thể dương hoặc âm, tùy thuộc vào giá trị của \(x\).
- \((x+5)\) có thể dương hoặc âm, tùy thuộc vào giá trị của \(x\).

Từ đó, ta phân tích dấu của biểu thức:
- \(x = -2\) thì \((x+2)^2 = 0\), do đó cả biểu thức bằng \(0\).
- \(x = 1\) và \(x = -5\) là các giá trị làm \((x-1)\) và \((x+5)\) bằng \(0\).

Xét các trường hợp của \(x\)
th 1: \(x = -2\)
Lúc này:
\[
(x+2)^2(x-1)(x+5) + 8 = 0 + 8 = 8 > 0
\]
=> \(x = -2\) là một nghiệm của bất phương trình.

th2 \(x = 1\)
Lúc này:
\[
(x+2)^2(x-1)(x+5) + 8 = (3)^2(0)(6) + 8 = 0 + 8 = 8 > 0
\]
=> \(x = 1\) là một nghiệm của bất phương trình.

th3 \(x = -5\)
Lúc này:
\[
(x+2)^2(x-1)(x+5) + 8 = (1)^2(-6)(0) + 8 = 0 + 8 = 8 > 0
\]
=> \(x = -5\) là một nghiệm của bất phương trình.

Xét dấu của bất phương trình trên các khoảng
Xét các khoảng do các nghiệm \(x = -5\), \(x = -2\), \(x = 1\) chia ra:

- Khoảng \( (-\infty, -5) \)**: Trong khoảng này, \((x+2)^2 > 0\), \((x-1) < 0\), và \((x+5) < 0\). Vì thế, biểu thức \((x+2)^2(x-1)(x+5) < 0\). Do đó:
\[
(x+2)^2(x-1)(x+5) + 8 < 8
\]
nên không thỏa mãn bất phương trình.

- Khoảng \( (-5, -2) \)**: Trong khoảng này, \((x+2)^2 > 0\), \((x-1) < 0\), và \((x+5) > 0\). Do đó:
\[
(x+2)^2(x-1)(x+5) < 0
\]
và bất phương trình vẫn không thỏa mãn.

- Khoảng \( (-2, 1) \)**: Trong khoảng này, \((x+2)^2 > 0\), \((x-1) < 0\), và \((x+5) > 0\). Biểu thức vẫn âm, không thỏa mãn bất phương trình.

- Khoảng \( (1, \infty) \): Trong khoảng này, tất cả các nhân tử đều dương, nên:
\[
(x+2)^2(x-1)(x+5) > 0
\]
Do đó, biểu thức:
\[
(x+2)^2(x-1)(x+5) + 8 > 8 > 0
\]
và thỏa mãn bất phương trình.

Bất phương trình có nghiệm là:
\[
\boxed{x \in (-2, 1) \cup (1, +\infty)}
\]

...Xem thêm

Answer 4