Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 10} \) trên đoạn \([-4, 1]\), chúng ta có thể làm theo các bước sau:

### Bước 1: Xác định hàm số trong căn

Trước tiên, hãy tìm hàm số không có căn:

\[ g(x) = x^2 - 4x + 10 \]

### Bước 2: Tìm cực trị của hàm số \( g(x) \)

Để tìm cực trị của \( g(x) \), chúng ta cần tính đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0.

1. **Tính đạo hàm của \( g(x) \):**

\[ g'(x) = 2x - 4 \]

2. **Giải phương trình đạo hàm bằng 0:**

\[ 2x - 4 = 0 \]
\[ x = 2 \]

Vậy hàm số có điểm cực trị tại \( x = 2 \).

### Bước 3: Tính giá trị của \( g(x) \) tại điểm cực trị và các đầu mút của đoạn

1. **Tính giá trị của \( g(x) \) tại \( x = 2 \):**

\[ g(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 10 \]
\[ g(2) = 4 - 8 + 10 \]
\[ g(2) = 6 \]

2. **Tính giá trị của \( g(x) \) tại các đầu mút của đoạn \([-4, 1]\):**

- Tại \( x = -4 \):

\[ g(-4) = (-4)^2 - 4 \cdot (-4) + 10 \]
\[ g(-4) = 16 + 16 + 10 \]
\[ g(-4) = 42 \]

- Tại \( x = 1 \):

\[ g(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 + 10 \]
\[ g(1) = 1 - 4 + 10 \]
\[ g(1) = 7 \]

### Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( \sqrt{g(x)} \)

- Tại \( x = 2 \):

\[ f(2) = \sqrt{g(2)} = \sqrt{6} \]

- Tại \( x = -4 \):

\[ f(-4) = \sqrt{g(-4)} = \sqrt{42} \]

- Tại \( x = 1 \):

\[ f(1) = \sqrt{g(1)} = \sqrt{7} \]

### Bước 5: So sánh các giá trị

- \( \sqrt{6} \approx 2.449 \)
- \( \sqrt{7} \approx 2.646 \)
- \( \sqrt{42} \approx 6.481 \)

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 10} \) trên đoạn \([-4, 1]\) là:

\[ \sqrt{6} \]

### Kết Luận

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([-4, 1]\) là \( \sqrt{6} \), và nó đạt được tại \( x = 2 \).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 10} \) trên đoạn \([-4, 1]\), chúng ta cần thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Xác định hàm số trong căn

Hàm số cần nghiên cứu là:

\[
f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 10}
\]

### Bước 2: Tìm giá trị của hàm số không có căn

Ta cần xem xét hàm số bên trong căn:

\[
g(x) = x^2 - 4x + 10
\]

Để tìm cực trị của hàm \( g(x) \), ta tính đạo hàm của nó và giải phương trình đạo hàm bằng 0.

1. **Tính đạo hàm của \( g(x) \):**

\[
g'(x) = 2x - 4
\]

2. **Giải phương trình \( g'(x) = 0 \):**

\[
2x - 4 = 0
\]
\[
x = 2
\]

Hàm số \( g(x) \) có điểm cực trị tại \( x = 2 \).

### Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cần kiểm tra

1. **Tính giá trị của \( g(x) \) tại \( x = 2 \):**

\[
g(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 10
\]
\[
g(2) = 4 - 8 + 10
\]
\[
g(2) = 6
\]

2. **Tính giá trị của \( g(x) \) tại các đầu mút của đoạn \([-4, 1]\):**

- Tại \( x = -4 \):

\[
g(-4) = (-4)^2 - 4 \cdot (-4) + 10
\]
\[
g(-4) = 16 + 16 + 10
\]
\[
g(-4) = 42
\]

- Tại \( x = 1 \):

\[
g(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 + 10
\]
\[
g(1) = 1 - 4 + 10
\]
\[
g(1) = 7
\]

### Bước 4: Tính giá trị của hàm số \( f(x) \) và so sánh

Tính giá trị của hàm số \( f(x) \) tại các điểm kiểm tra:

- Tại \( x = 2 \):

\[
f(2) = \sqrt{g(2)} = \sqrt{6}
\]

- Tại \( x = -4 \):

\[
f(-4) = \sqrt{g(-4)} = \sqrt{42}
\]

- Tại \( x = 1 \):

\[
f(1) = \sqrt{g(1)} = \sqrt{7}
\]

### Kết luận

So sánh các giá trị:

- \( \sqrt{6} \approx 2.449 \)
- \( \sqrt{7} \approx 2.646 \)
- \( \sqrt{42} \approx 6.481 \)

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([-4, 1]\) là:

\[
\sqrt{6}
\]

Và giá trị nhỏ nhất này đạt được tại \( x = 2 \).