### Bước 1: Phân tích điều kiện đã cho

Ta có đẳng thức \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \). Đây là một đẳng thức nổi tiếng và đúng trong hai trường hợp:

1. \( a + b + c = 0 \).
2. \( a = b = c \).

Tuy nhiên, vì đề bài cho rằng \( a + b + c \neq 0 \), nên ta không xét trường hợp \( a + b + c = 0 \). Do đó, ta sẽ xét trường hợp \( a = b = c \).

### Bước 2: Xét trường hợp \( a = b = c \)

Giả sử \( a = b = c \). Khi đó:

\[
a^3 + a^3 + a^3 = 3a^3 = 3a \cdot a \cdot a = 3a^3
\]

Vậy đẳng thức \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \) thỏa mãn khi \( a = b = c \).

### Bước 3: Tính giá trị của \( N \)

Với \( a = b = c \), ta có:

\[
N = \frac{a^{2025} + b^{2025} + c^{2025}}{(a + b + c)^{2025}} = \frac{a^{2025} + a^{2025} + a^{2025}}{(3a)^{2025}}
\]

Biểu thức này đơn giản hóa như sau:

\[
N = \frac{3a^{2025}}{3^{2025}a^{2025}} = \frac{3a^{2025}}{3^{2025}a^{2025}} = \frac{3}{3^{2025}} = 3^{1 - 2025} = 3^{-2024}
\]

Vậy, giá trị của \( N \) là:

\[
N = 3^{-2024}
\]