Để tìm miền nghiệm của bất phương trình \(4x + y + 3 < 0\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

### 1. Biến đổi bất phương trình thành phương trình

Để dễ dàng xác định miền nghiệm, ta biến bất phương trình thành phương trình:
\[
4x + y + 3 = 0
\]

### 2. Vẽ đường thẳng tương ứng

Vẽ đường thẳng \(4x + y + 3 = 0\) trên mặt phẳng tọa độ.

**Cách vẽ đường thẳng:**

- **Tìm điểm giao của đường thẳng với trục \(x\):**

Đặt \(y = 0\):
\[
4x + 0 + 3 = 0 \implies 4x + 3 = 0 \implies x = -\frac{3}{4}
\]
Điểm giao với trục \(x\) là \(\left(-\frac{3}{4}, 0\right)\).

- **Tìm điểm giao của đường thẳng với trục \(y\):**

Đặt \(x = 0\):
\[
4(0) + y + 3 = 0 \implies y + 3 = 0 \implies y = -3
\]
Điểm giao với trục \(y\) là \((0, -3)\).

### 3. Xác định miền nghiệm

Để xác định miền nghiệm của bất phương trình \(4x + y + 3 < 0\), ta có thể chọn một điểm thử để kiểm tra miền nào thỏa mãn bất phương trình.

**Chọn điểm thử**: Chọn điểm dễ xác định, chẳng hạn như \((0,0)\), và kiểm tra:
\[
4(0) + 0 + 3 = 3
\]
\[
3 < 0 \text{ (sai)}
\]

Điểm \((0,0)\) không thỏa mãn bất phương trình, do đó miền nghiệm là phía bên kia của đường thẳng \(4x + y + 3 = 0\), tức là phía dưới đường thẳng.

**Vẽ đồ thị:**

1. Vẽ đường thẳng \(4x + y + 3 = 0\) trên mặt phẳng tọa độ, sử dụng các điểm giao với trục \(x\) và \(y\) đã tìm được.
2. Phủ màu hoặc đánh dấu phía dưới đường thẳng, vì đó là miền thỏa mãn bất phương trình \(4x + y + 3 < 0\).

### 4. Kết luận

Miền nghiệm của bất phương trình \(4x + y + 3 < 0\) là tập hợp tất cả các điểm \((x, y)\) nằm dưới đường thẳng \(4x + y + 3 = 0\) (không bao gồm chính đường thẳng).

### Tóm tắt

- **Đường thẳng**: \(4x + y + 3 = 0\)
- **Miền nghiệm**: Phía dưới đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ.