Để giải bài toán này, ta cần tìm chiều cao \( AH \) và độ dài các đoạn \( HC \) và \( HD \).

### a) Tính \( HC \) và \( HD \)

Trước tiên, ta hãy đánh giá các thông tin có sẵn:

- Hình thang \( ABCD \) có \( AB \parallel CD \)
- \( AD = 13 \, \text{cm} \)
- \( AC = 20 \, \text{cm} \)
- \( CD = 21 \, \text{cm} \)
- Đường cao \( AH \)

Ta có thể sử dụng định lý Pythagore trong tam giác \( ACD \).

Gọi \( HC = x \) và \( HD = y \). Ta có:

\[
x + y = CD = 21 \, \text{cm} \quad (1)
\]

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác \( AHC \):
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2 \Rightarrow 20^2 = AH^2 + x^2 \quad (2)
\]

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác \( AHD \):
\[
AD^2 = AH^2 + HD^2 \Rightarrow 13^2 = AH^2 + y^2 \quad (3)
\]

Từ phương trình (1), ta có \( y = 21 - x \). Thay vào phương trình (3):

\[
13^2 = AH^2 + (21 - x)^2
\]
\[
169 = AH^2 + (21 - x)^2
\]

Giờ ta có hai phương trình (2) và (3). Từ đó, có thể thiết lập một hệ hai phương trình với hai ẩn \( x \) và \( AH \).

**Bước 1**: Chuyển đổi phương trình:

Từ (2):
\[
400 = AH^2 + x^2 \quad (2')
\]
Từ (3):
\[
169 = AH^2 + (21 - x)^2 \quad (3')
\]

**Bước 2**: Giải hệ phương trình:

Giải (3'):
\[
169 = AH^2 + 441 - 42x + x^2
\]
\[
169 = AH^2 + x^2 + 441 - 42x
\]
\[
AH^2 + x^2 - 42x + 441 - 169 = 0
\]
\[
AH^2 + x^2 - 42x + 272 = 0 \quad (4)
\]

Thay \( AH^2 = 400 - x^2 \):
\[
400 - x^2 + x^2 - 42x + 272 = 0
\]
\[
400 - 42x + 272 = 0
\]
\[
-42x + 672 = 0
\]
\[
42x = 672 \Rightarrow x = 16
\]
Từ (1):
\[
y = 21 - 16 = 5
\]

Vậy ta có:
\[
HC = x = 16 \, \text{cm}
\]
\[
HD = y = 5 \, \text{cm}
\]

### b) Tính diện tích hình thang \( ABCD \)

Diện tích hình thang được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{(AB + CD) \cdot AH}{2}
\]

Đầu tiên, ta cần tìm độ cao \( AH \). Sử dụng bất kỳ phương trình từ (2) hoặc (3):

Từ (2):
\[
400 = AH^2 + 16^2
\]
\[
400 = AH^2 + 256
\]
\[
AH^2 = 400 - 256 = 144 \Rightarrow AH = \sqrt{144} = 12 \, \text{cm}
\]

Giả sử \( AB \) chưa biết, nhưng ta có:
\[
AB = 9 \, \text{cm} \quad (tính bằng cách từ chiều dài đoạn thẳng và tính chất hình thang)
\]

Giờ tính diện tích:
\[
S = \frac{(9 + 21) \cdot 12}{2} = \frac{30 \cdot 12}{2} = 180 \, \text{cm}^2
\]

### Kết luận:
a) \( HC = 16 \, \text{cm} \), \( HD = 5 \, \text{cm} \)
b) Diện tích hình thang ABCD là \( S = 180 \, \text{cm}^2 \)