Để tính độ dài \(HC\) và \(HD\) trong hình thang \(ABCD\) với \(AB \parallel CD\), chúng ta cần sử dụng một số thông tin đã cho và lý thuyết về hình thang cũng như các tính chất của tam giác. Các yếu tố cần thiết là \(AD = 13 \, \text{cm}\), \(AC = 20 \, \text{cm}\), và \(CD = 21 \, \text{cm}\).

### Bước 1: Tính chiều cao \(AH\)

Có nhiều cách để tính chiều cao của hình thang, nhưng trong trường hợp này, chúng ta có thể sử dụng Định lý Pytago trong tam giác vuông \(ABD\):

Trong tam giác \(ABD\):
\[
AD^2 = AH^2 + HD^2
\]
Trong tam giác \(ACD\):
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2
\]

### Bước 2: Gọi \(HD = x\) và \(HC = y\).

Ta có:
\[
AD^2 = AH^2 + x^2 \quad (1)
\]
\[
AC^2 = AH^2 + y^2 \quad (2)
\]

Và do \(CD = 21\):
\[
HD + HC + AB = CD \quad \Rightarrow \quad x + y + AB = 21 \quad (3)
\]

### Bước 3: Tính \(AB\)

Bây giờ, từ phương trình ba, khi có được \(AB\) sau đó ta có thể tìm được \(x\) và \(y\).

### Bước 4: Tính chiều cao \(AH\)

Ta chưa biết được \(AH\), nhưng chúng ta có thể tìm \(AB\) để xác định chiều cao nhất có thể:

Áp dụng định lý Pytago cho \(AB\):
\[
AB^2 = AC^2 - (HC)^2 = 20^2 - y^2 = 400 - y^2
\]

Và cho \(AD\):
\[
AB^2 = AD^2 - (HD)^2 = 13^2 - x^2 = 169 - x^2
\]

Vì vậy, \(
400 - y^2 = 169 - x^2
\), ta có:
\[
y^2 - x^2 = 231 \quad (4)
\]

### Bước 5: Giải hệ phương trình

Từ phương trình (3):
\[
x + y = 21 - AB
\]

Thay x và y vào phương trình (4) với giả thiết \(AB\) có thể tính được từ \(4x + 4y = 84\).

### Kết luận

Có thể sử dụng hệ số giải phương trình như trên và đồng thời thức đỉnh lý trong hình thang với công thức Khối trụ:

1. Tính giá trị AC sao cho sử dụng công thức vuông của bậc 2, đem lại HMS trong tam giác ABC, để tính toán chiều cao từ đó lấy ra độ dài HC và HD.

Vì đây là bài toán phức tạp, tôi khuyên bạn nên sử dụng một phương pháp hình học cụ thể để biểu diễn các tuyến tính trong thang chữ nhật và lý thuyết lượng giác để xác định đúng độ dài các đoạn mà bạn cần.

Nếu bạn có một cấu trúc cụ thể mà bạn có thể hướng dẫn thêm, tôi có thể giúp bạn bằng các phương pháp rõ ràng hơn.