Để tính \(\sin a\) và \(\cos a\) khi biết \(\sin 2a = -\frac{4}{5}\) và \(\frac{\pi}{2} < a < \frac{3\pi}{2}\), ta có thể làm theo các bước sau:

### 1. Tính \(\sin a\) và \(\cos a\) từ \(\sin 2a\)

**Dùng công thức lượng giác:**

\[
\sin 2a = 2 \sin a \cos a
\]

Vì \(\sin 2a = -\frac{4}{5}\), ta có:

\[
2 \sin a \cos a = -\frac{4}{5}
\]

Do đó:

\[
\sin a \cos a = -\frac{2}{5}
\]

**Sử dụng đồng thời các công thức sau:**

\[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
\]

\[
\sin^2 a \cos^2 a = \left(-\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}
\]

**Đặt \(\sin a = x\) và \(\cos a = y\):**

\[
xy = -\frac{2}{5}
\]

\[
x^2 + y^2 = 1
\]

**Tìm \(x^2y^2\) và thay vào phương trình bình phương của \(x^2 + y^2\):**

\[
(xy)^2 = \frac{4}{25}
\]

\[
(x^2 + y^2)^2 = 1^2 = 1
\]

\[
x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = 1
\]

\[
x^4 + y^4 = 1 - 2x^2y^2
\]

\[
x^4 + y^4 = 1 - \frac{8}{25} = \frac{17}{25}
\]

**Giải phương trình bậc 4:**

\[
x^4 + y^4 = \frac{17}{25}
\]

**Sử dụng phương pháp giải phương trình bậc 4 hoặc các công thức lượng giác để xác định giá trị cụ thể của \(\sin a\) và \(\cos a\).**

### 2. Xác định dấu của \(\sin a\) và \(\cos a\)

Vì \(\frac{\pi}{2} < a < \frac{3\pi}{2}\), \(a\) nằm trong góc phần tư thứ hai hoặc thứ ba. Do đó:

- Trong góc phần tư thứ hai, \(\sin a > 0\) và \(\cos a < 0\)
- Trong góc phần tư thứ ba, \(\sin a < 0\) và \(\cos a < 0\)

**Chọn góc phần tư thứ ba, vì \(\sin a\) là âm và \(\cos a\) là âm:**

Từ công thức lượng giác và điều kiện trên, ta tìm:

\[
\sin a = -\frac{3}{5}
\]

\[
\cos a = -\frac{4}{5}
\]

**Tóm lại:**

\[
\sin a = -\frac{3}{5}
\]

\[
\cos a = -\frac{4}{5}
\]

Kết quả:

\[
\sin a = -\frac{3}{5}
\]

\[
\cos a = -\frac{4}{5}
\]

Để tính \(\sin a\) và \(\cos a\) từ \(\sin 2a = -\frac{4}{5}\) trong khoảng \(\frac{\pi}{2} < a < \frac{3\pi}{2}\), chúng ta có thể sử dụng các công thức lượng giác và tính chất của góc trong các phần của mặt phẳng lượng giác.

### Bước 1: Sử dụng công thức lượng giác cho \(\sin 2a\)

Ta có công thức:
\[
\sin 2a = 2 \sin a \cos a
\]

Vì \(\sin 2a = -\frac{4}{5}\), ta có:
\[
2 \sin a \cos a = -\frac{4}{5}
\]

### Bước 2: Tính \(\sin^2 a + \cos^2 a\)

Ta biết rằng:
\[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
\]

### Bước 3: Tìm \(\sin^2 a\) và \(\cos^2 a\)

Chúng ta sẽ giải hệ phương trình:
\[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
\]
\[
\sin a \cos a = -\frac{2}{5}
\]

Ta có thể viết lại \(\sin^2 a \cos^2 a\) từ phương trình đầu tiên:
\[
\sin^2 a \cos^2 a = \left(\sin a \cos a\right)^2 = \left(-\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}
\]

Từ \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\), ta viết:
\[
(\sin^2 a)(\cos^2 a) = \frac{4}{25}
\]

Gọi \(\sin^2 a = x\) và \(\cos^2 a = 1 - x\). Ta có:
\[
x(1 - x) = \frac{4}{25}
\]
\[
x - x^2 = \frac{4}{25}
\]
\[
25x - 25x^2 = 4
\]
\[
25x^2 - 25x + 4 = 0
\]

### Bước 4: Giải phương trình bậc hai

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Ở đây, \(a = 25\), \(b = -25\), và \(c = 4\):
\[
x = \frac{25 \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 4}}{2 \cdot 25}
\]
\[
x = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 400}}{50}
\]
\[
x = \frac{25 \pm \sqrt{225}}{50}
\]
\[
x = \frac{25 \pm 15}{50}
\]

Nghiệm là:
\[
x = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}
\]
\[
x = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}
\]

### Bước 5: Xác định giá trị của \(\sin a\) và \(\cos a\)

Từ \(\sin^2 a = \frac{4}{5}\) và \(\cos^2 a = \frac{1}{5}\):
\[
\sin a = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}
\]
\[
\cos a = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}
\]

Vì \(\frac{\pi}{2} < a < \frac{3\pi}{2}\), góc \(a\) thuộc vùng IV và vùng III:
- Trong vùng III, cả \(\sin a\) và \(\cos a\) đều âm.
- Trong vùng IV, \(\sin a\) âm, \(\cos a\) dương.

Vì \(\sin a \cos a = -\frac{2}{5}\), điều này cho thấy \(\sin a\) phải âm và \(\cos a\) phải dương (thuộc vùng IV).

### Kết quả

- \(\sin a = -\frac{2}{\sqrt{5}}\)
- \(\cos a = \frac{1}{\sqrt{5}}\)

Hoặc dưới dạng đơn giản hóa:
- \(\sin a = -\frac{2}{\sqrt{5}}\)
- \(\cos a = \frac{1}{\sqrt{5}}\)

Để giải bài toán này, ta có các bước như sau:

Bước 1: Xác định góc aaa
Biết rằng π2<a<3π2\frac{\pi}{2} < a < \frac{3\pi}{2}2π​<a<23π​, suy ra góc aaa thuộc góc phần tư thứ III (góc này có sin⁡a<0\sin a < 0sina<0 và cos⁡a<0\cos a < 0cosa<0).

Bước 2: Sử dụng công thức lượng giác
Ta có:

sin⁡(2a)=−45\sin(2a) = -\frac{4}{5}sin(2a)=−54​Theo công thức nhân đôi:

sin⁡(2a)=2sin⁡(a)cos⁡(a)\sin(2a) = 2 \sin(a) \cos(a)sin(2a)=2sin(a)cos(a)Do đó:

2sin⁡(a)cos⁡(a)=−452 \sin(a) \cos(a) = -\frac{4}{5}2sin(a)cos(a)=−54​Suy ra:

sin⁡(a)cos⁡(a)=−25\sin(a) \cos(a) = -\frac{2}{5}sin(a)cos(a)=−52​Bước 3: Sử dụng công thức sin⁡2(a)+cos⁡2(a)=1\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1sin2(a)+cos2(a)=1
Đặt sin⁡(a)=x\sin(a) = xsin(a)=x và cos⁡(a)=y\cos(a) = ycos(a)=y. Khi đó:

x⋅y=−25x \cdot y = -\frac{2}{5}x⋅y=−52​và

x2+y2=1x^2 + y^2 = 1x2+y2=1Bước 4: Giải hệ phương trình
Từ x⋅y=−25x \cdot y = -\frac{2}{5}x⋅y=−52​, ta có:

y=−25xy = -\frac{2}{5x}y=−5x2​Thay vào phương trình x2+y2=1x^2 + y^2 = 1x2+y2=1:

x2+(−25x)2=1x^2 + \left(-\frac{2}{5x}\right)^2 = 1x2+(−5x2​)2=1Giải phương trình này:

x2+425x2=1x^2 + \frac{4}{25x^2} = 1x2+25x24​=1Nhân cả hai vế với 25x225x^225x2:

25x4+4=25x225x^4 + 4 = 25x^225x4+4=25x2Đặt t=x2t = x^2t=x2, ta có phương trình bậc hai:

25t2−25t+4=025t^2 - 25t + 4 = 025t2−25t+4=0Giải phương trình này theo công thức nghiệm:

t=25±(−25)2−4⋅25⋅42⋅25=25±625−40050=25±22550=25±1550t = \frac{25 \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 4}}{2 \cdot 25} = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 400}}{50} = \frac{25 \pm \sqrt{225}}{50} = \frac{25 \pm 15}{50}t=2⋅2525±(−25)2−4⋅25⋅4​​=5025±625−400​​=5025±225​​=5025±15​Suy ra:

t=4050=45hoặct=1050=15t = \frac{40}{50} = \frac{4}{5} \quad \text{hoặc} \quad t = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}t=5040​=54​hoặct=5010​=51​Vì t=x2t = x^2t=x2 nên x=45x = \sqrt{\frac{4}{5}}x=54​​ hoặc x=15x = \sqrt{\frac{1}{5}}x=51​​.

Bước 5: Xác định dấu của sin⁡(a)\sin(a)sin(a) và cos⁡(a)\cos(a)cos(a)
Vì aaa thuộc góc phần tư thứ III nên sin⁡(a)<0\sin(a) < 0sin(a)<0 và cos⁡(a)<0\cos(a) < 0cos(a)<0.

Do đó:

sin⁡(a)=−45=−25=−255\sin(a) = -\sqrt{\frac{4}{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}sin(a)=−54​​=−5​2​=−525​​Và:

cos⁡(a)=−15=−15=−55\cos(a) = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}cos(a)=−51​​=−5​1​=−55​​Kết luận:
sin⁡(a)=−255,cos⁡(a)=−55\sin(a) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}, \quad \cos(a) = -\frac{\sqrt{5}}{5}sin(a)=−525​​,cos(a)=−55​​