Để giải các bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện phép chia đa thức.

### a) Phép chia đa thức \( A = \frac{3x^4 - x^2 + 1}{x - 4} \)

Chúng ta sử dụng phép chia đa thức để chia \( 3x^4 - x^2 + 1 \) cho \( x - 4 \).

**Thực hiện phép chia:**

1. **Chia hạng tử đầu tiên của tử số** \( 3x^4 \) cho hạng tử đầu tiên của mẫu số \( x \):
\[
\frac{3x^4}{x} = 3x^3
\]
Viết \( 3x^3 \) vào kết quả của phép chia.

2. **Nhân \( 3x^3 \) với \( x - 4 \) và trừ từ đa thức gốc:**
\[
3x^3 \cdot (x - 4) = 3x^4 - 12x^3
\]
\[
(3x^4 - x^2 + 1) - (3x^4 - 12x^3) = 12x^3 - x^2 + 1
\]

3. **Chia \( 12x^3 \) cho \( x \):**
\[
\frac{12x^3}{x} = 12x^2
\]
Viết \( 12x^2 \) vào kết quả của phép chia.

4. **Nhân \( 12x^2 \) với \( x - 4 \) và trừ:**
\[
12x^2 \cdot (x - 4) = 12x^3 - 48x^2
\]
\[
(12x^3 - x^2 + 1) - (12x^3 - 48x^2) = 47x^2 + 1
\]

5. **Chia \( 47x^2 \) cho \( x \):**
\[
\frac{47x^2}{x} = 47x
\]
Viết \( 47x \) vào kết quả của phép chia.

6. **Nhân \( 47x \) với \( x - 4 \) và trừ:**
\[
47x \cdot (x - 4) = 47x^2 - 188x
\]
\[
(47x^2 + 1) - (47x^2 - 188x) = 188x + 1
\]

7. **Chia \( 188x \) cho \( x \):**
\[
\frac{188x}{x} = 188
\]
Viết \( 188 \) vào kết quả của phép chia.

8. **Nhân \( 188 \) với \( x - 4 \) và trừ:**
\[
188 \cdot (x - 4) = 188x - 752
\]
\[
(188x + 1) - (188x - 752) = 753
\]

**Kết quả của phép chia là:**
\[
A = 3x^3 + 12x^2 + 47x + 188 + \frac{753}{x - 4}
\]

### b) Phép chia đa thức \( A = \frac{x^3 - 1}{x - 1} \)

Sử dụng định lý phân tích đa thức:

1. **Xác định dạng của đa thức:** \( x^3 - 1 \) là hiệu của hai bình phương:
\[
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)
\]

2. **Chia \( x^3 - 1 \) cho \( x - 1 \):**
\[
\frac{x^3 - 1}{x - 1} = x^2 + x + 1
\]

**Kết quả của phép chia là:**
\[
A = x^2 + x + 1
\]

### Tóm tắt:

a) \[
A = \frac{3x^4 - x^2 + 1}{x - 4} = 3x^3 + 12x^2 + 47x + 188 + \frac{753}{x - 4}
\]

b) \[
A = \frac{x^3 - 1}{x - 1} = x^2 + x + 1
\]

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện hai phần a) và b).

### a) Tìm A trong biểu thức:
Cho \( A = \frac{3x^4 - x^2 + 1}{x - 4} \).

Ta sẽ thực hiện phân tích đa thức \( 3x^4 - x^2 + 1 \) bằng cách chia cho \( x - 4 \).

**Thực hiện phép chia đa thức:**

1. Lấy \( 3x^4 \) chia cho \( x \) được \( 3x^3 \).
2. Nhân \( 3x^3 \) với \( x - 4 \) sẽ có:
\[
3x^4 - 12x^3
\]
3. Trừ đi từ đa thức ban đầu:
\[
(3x^4 - x^2 + 1) - (3x^4 - 12x^3) = 12x^3 - x^2 + 1
\]

Tiếp theo, tiếp tục với \( 12x^3 \):

4. Lấy \( 12x^3 \) chia cho \( x \) được \( 12x^2 \).
5. Nhân \( 12x^2 \) với \( x - 4 \):
\[
12x^3 - 48x^2
\]
6. Trừ đi:
\[
(12x^3 - x^2 + 1) - (12x^3 - 48x^2) = 47x^2 + 1
\]

Tiếp theo là \( 47x^2 \):

7. Lấy \( 47x^2 \) chia cho \( x \) được \( 47x \).
8. Nhân \( 47x \) với \( x - 4 \):
\[
47x^2 - 188x
\]
9. Trừ đi:
\[
(47x^2 + 1) - (47x^2 - 188x) = 188x + 1
\]

Tới đây ta có \( 188x \):

10. Lấy \( 188x \) chia cho \( x \) được \( 188 \).
11. Nhân \( 188 \) với \( x - 4 \):
\[
188x - 752
\]
12. Cuối cùng trừ đi:
\[
(188x + 1) - (188x - 752) = 753
\]

Vậy sau khi hoàn tất phép chia, ta được kết quả:
\[
A = 3x^3 + 12x^2 + 47x + 188 + \frac{753}{x-4}
\]

### b) Tìm A từ \( (x^3 - 1) : A = (x - 1) \):

Từ biểu thức:
\[
\frac{x^3 - 1}{A} = x - 1
\]

Tái sắp xếp cho A:
\[
A = \frac{x^3 - 1}{x - 1}
\]

Biểu thức \( x^3 - 1 \) có thể được phân tích bằng công thức hằng đẳng thức:
\[
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)
\]

Do đó:
\[
A = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1}
\]

Nếu \( x \neq 1 \) thì ta có thể rút gọn:
\[
A = x^2 + x + 1
\]

### Kết luận:
- Kết quả cho phần a):
\[
A = 3x^3 + 12x^2 + 47x + 188 + \frac{753}{x-4}
\]

- Kết quả cho phần b):
\[
A = x^2 + x + 1 \quad (x \neq 1)
\]