Để giải bài toán \( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = 7 \) và tính \( \tan \alpha + \cot \alpha \), chúng ta sẽ sử dụng một số công thức lượng giác.

### Bước 1: Biểu diễn \(\cot \alpha\) theo \(\tan \alpha\)
Gọi \( x = \tan \alpha \), thì:
\[
\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{x}
\]

Thay vào phương trình:
\[
\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = x^2 + \left(\frac{1}{x}\right)^2
\]
\[
x^2 + \frac{1}{x^2} = 7
\]

### Bước 2: Tính \(\left(\tan \alpha + \cot \alpha\right)^2\)
Chúng ta có:
\[
\tan \alpha + \cot \alpha = x + \frac{1}{x}
\]
\[
\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^2}
\]
\[
\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}
\]

### Bước 3: Thay giá trị từ phương trình đã cho vào
Từ phương trình \( x^2 + \frac{1}{x^2} = 7 \):
\[
\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2
\]
\[
\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 7 + 2
\]
\[
\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 9
\]

### Bước 4: Tính giá trị của \( \tan \alpha + \cot \alpha \)
Lấy căn bậc hai của cả hai vế:
\[
x + \frac{1}{x} = \pm \sqrt{9}
\]
\[
x + \frac{1}{x} = \pm 3
\]

### Kết luận:
\[
\tan \alpha + \cot \alpha = 3 \text{ hoặc } -3
\]