Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo các bước sau:

### Đề bài:
Cho tam giác \( \triangle ABC \) với \( AM \) vuông góc với \( BC \) tại \( M \), và \( CN \) vuông góc với \( AB \) tại \( N \).

a. **Chứng minh \( BK \) vuông góc với \( AC \)**:

**Bước 1: Chứng minh \( K \) là giao điểm của \( AM \) và \( CN \)**:
- Vì \( AM \perp BC \) và \( CN \perp AB \), nên \( K \), giao điểm của \( AM \) và \( CN \), là điểm mà \( AM \) và \( CN \) cắt nhau.

**Bước 2: Sử dụng tính chất của các đường vuông góc trong tam giác vuông**:
- Trong tam giác vuông \( \triangle AMB \) và \( \triangle CND \), ta có \( \angle AMB = 90^\circ \) và \( \angle CND = 90^\circ \).
- Khi \( BK \) là phân giác của góc \( \angle ABC \), ta có thể sử dụng định lý phân giác để chứng minh \( BK \perp AC \).

**Bước 3: Chứng minh \( BK \perp AC \)**:
- Nếu \( MA = MB \), tam giác \( AMB \) là tam giác vuông cân. Khi đó, \( \angle AMB = \angle MBC = 90^\circ \).
- Do đó, điểm \( K \) mà phân giác của \( BK \) sẽ tạo ra hai góc vuông với các cạnh còn lại của tam giác vuông.

### b. **Tính góc \( \angle MKN \) và góc \( \angle KBN \) khi \( MB = MA \) và \( \angle ABC = 50^\circ \)**:

**Bước 1: Tính góc \( \angle MKN \)**:
- Trong tam giác vuông cân \( AMB \), góc tại \( M \) là \( 90^\circ \).
- Góc \( \angle MKN \) là góc giữa đường chéo từ \( M \) đến \( K \) và đường chéo từ \( N \) đến \( K \).

**Bước 2: Tính góc \( \angle KBN \)**:
- Do \( MB = MA \), ta có góc \( \angle MAB = \angle MBA \).
- Tổng của các góc trong tam giác là \( 180^\circ \). Ta có thể tính góc \( \angle KBN \) từ góc \( \angle ABC \) và các góc đã cho.

**Tính cụ thể**:

1. **Tính góc \( \angle MKN \)**:
- Ta có thể sử dụng định lý tổng góc của tam giác vuông để tính góc \( \angle MKN \). Khi \( AM \) và \( CN \) là hai đường vuông góc, góc giữa chúng là một góc vuông.

2. **Tính góc \( \angle KBN \)**:
- Đầu tiên, tính tổng các góc trong tam giác \( \triangle ABC \):
\[
\angle BAC = 90^\circ - \frac{\angle ABC}{2}
\]
\[
\angle KBN = \angle ABC - \frac{\angle BAC}{2}
\]

- Tính cụ thể dựa trên số liệu đã cho, ví dụ như \( \angle BAC \) có thể được tính từ góc vuông và góc đã biết.

### Tổng kết:

- **Chứng minh \( BK \perp AC \)**: Sử dụng tính chất phân giác và các góc vuông trong tam giác.
- **Tính góc**: Dựa trên các định lý về tổng của các góc và tính chất của tam giác vuông cân.

Góc cụ thể có thể được tính như sau:
- \( \angle MKN = 90^\circ \)
- \( \angle KBN = 90^\circ - \frac{\angle ABC}{2} \)

Với \( \angle ABC = 50^\circ \), ta có:
\[
\angle KBN = 90^\circ - \frac{50^\circ}{2} = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ
\]

Các góc cụ thể có thể thay đổi tùy thuộc vào các số liệu thêm và cách tính chính xác hơn.

Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo các bước sau:

### Đề bài:
Cho tam giác △ABC△ABC với AMAM vuông góc với BCBC tại MM, và CNCN vuông góc với ABAB tại NN.

a. **Chứng minh BKBK vuông góc với ACAC**:

**Bước 1: Chứng minh KK là giao điểm của AMAM và CNCN**:
- Vì AM⊥BCAM⊥BC và CN⊥ABCN⊥AB, nên KK, giao điểm của AMAM và CNCN, là điểm mà AMAM và CNCN cắt nhau.

**Bước 2: Sử dụng tính chất của các đường vuông góc trong tam giác vuông**:
- Trong tam giác vuông △AMB△AMB và △CND△CND, ta có ∠AMB=90∘∠AMB=90∘ và ∠CND=90∘∠CND=90∘.
- Khi BKBK là phân giác của góc ∠ABC∠ABC, ta có thể sử dụng định lý phân giác để chứng minh BK⊥ACBK⊥AC.

**Bước 3: Chứng minh BK⊥ACBK⊥AC**:
- Nếu MA=MBMA=MB, tam giác AMBAMB là tam giác vuông cân. Khi đó, ∠AMB=∠MBC=90∘∠AMB=∠MBC=90∘.
- Do đó, điểm KK mà phân giác của BKBK sẽ tạo ra hai góc vuông với các cạnh còn lại của tam giác vuông.

### b. **Tính góc ∠MKN∠MKN và góc ∠KBN∠KBN khi MB=MAMB=MA và ∠ABC=50∘∠ABC=50∘**:

**Bước 1: Tính góc ∠MKN∠MKN**:
- Trong tam giác vuông cân AMBAMB, góc tại MM là 90∘90∘.
- Góc ∠MKN∠MKN là góc giữa đường chéo từ MM đến KK và đường chéo từ NN đến KK.

**Bước 2: Tính góc ∠KBN∠KBN**:
- Do MB=MAMB=MA, ta có góc ∠MAB=∠MBA∠MAB=∠MBA.
- Tổng của các góc trong tam giác là 180∘180∘. Ta có thể tính góc ∠KBN∠KBN từ góc ∠ABC∠ABC và các góc đã cho.

**Tính cụ thể**:

1. **Tính góc ∠MKN∠MKN**:
- Ta có thể sử dụng định lý tổng góc của tam giác vuông để tính góc ∠MKN∠MKN. Khi AMAM và CNCN là hai đường vuông góc, góc giữa chúng là một góc vuông.

2. **Tính góc ∠KBN∠KBN**:
- Đầu tiên, tính tổng các góc trong tam giác △ABC△ABC:
∠BAC=90∘−∠ABC2∠BAC=90∘−∠ABC2
∠KBN=∠ABC−∠BAC2∠KBN=∠ABC−∠BAC2

- Tính cụ thể dựa trên số liệu đã cho, ví dụ như ∠BAC∠BAC có thể được tính từ góc vuông và góc đã biết.

### Tổng kết:

- **Chứng minh BK⊥ACBK⊥AC**: Sử dụng tính chất phân giác và các góc vuông trong tam giác.
- **Tính góc**: Dựa trên các định lý về tổng của các góc và tính chất của tam giác vuông cân.

Góc cụ thể có thể được tính như sau:
- ∠MKN=90∘∠MKN=90∘
- ∠KBN=90∘−∠ABC2∠KBN=90∘−∠ABC2

Với ∠ABC=50∘∠ABC=50∘, ta có:
∠KBN=90∘−50∘2=90∘−25∘=65∘∠KBN=90∘−50∘2=90∘−25∘=65∘

Các góc cụ thể có thể thay đổi tùy thuộc vào các số liệu thêm và cách tính chính xác hơn.