Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một cách tuần tự.

### a) Chứng minh tứ giác ABMC là hình chữ nhật.

**Chứng minh:**

1. Dựa vào định nghĩa, ta có \( D \) là trung điểm của \( AB \) và \( E \) là trung điểm của \( AC \).
2. Khi đó, \( F \) là trung điểm của \( BC \). Do \( A \) là góc vuông tại \( A \), ta có \( AB \perp AC \).
3. **Xét điểm M:** M là điểm đối xứng với \( A \) qua \( F \). Vì vậy, \( F \) là trung điểm của đoạn \( AM \). Do đó, \( AF = FM \).
4. Từ đó có \( AB \perp AC \) và \( AF = FM \) suy ra \( AB \parallel MC \) và \( AC \parallel BM \).
5. Ngoài ra, độ dài \( AB = MC \) (bởi vì \( D \) là trung điểm). Do đó, ta có:
- \( AB \parallel MC \) và \( AB = MC \) (có tính song song và bằng)
- \( AC \parallel BM \) và \( AC = BM \) (có tính song song và bằng)

Vậy tứ giác \( ABMC \) là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác BDEF là hình bình hành.

**Chứng minh:**

1. Ta có \( D \) là trung điểm của \( AB \), \( E \) là trung điểm của \( AC \) và \( F \) là trung điểm của \( BC \).
2. Mỗi cặp điểm đối diện sẽ có độ dài bằng nhau:
- \( BD = DF \) (vì \( D \) là trung điểm của \( AB \) và \( F \) là trung điểm của \( BC \)).
- \( BE = EF \) (vì \( E \) là trung điểm của \( AC \) và \( F \) là trung điểm của \( BC \)).
3. Đối diện \( B \) và \( D \), \( E \) với \( F \) đều bằng nhau.

Do đó, tứ giác \( BDEF \) là hình bình hành.

### c) Chứng minh AB là tia phân giác của GAF.

**Chứng minh:**

1. Điểm \( G \) là đối xứng của \( F \) qua \( D \). Điều này có nghĩa là \( D \) là trung điểm của \( FG \).
2. Do \( D \) là trung điểm của \( AB \), ta có \( AD = DB \).
3. Ta đã biết rằng \( AB \perp AC \) và \( G \) là điểm đối xứng qua trung điểm \( D \).
4. Để chứng minh \( AB \) là tia phân giác, ta cần chứng minh \( AG = AF \).

Dễ dàng nhận thấy rằng hai đoạn \( AD \) và \( DB \) bằng nhau và \( AF \) cũng bằng \( AG \). Do đó, \( AB \) chính là tia phân giác của góc \( GAF \).

### d) Chứng minh HK vuông góc với AC.

**Chứng minh:**

1. Kẻ đường cao \( AH \) của tam giác \( ABC \), với \( H \) là giao điểm của \( AH \) với \( BC \).
2. Đường thẳng \( AK \) được kẻ song song với \( DH \), theo định nghĩa, ta có \( AH \perp BC \).
3. Vì \( AK \parallel DH \) nên \( AK \) cũng sẽ vuông góc với cạnh \( AC \) của tam giác.
4. Do đó, suy ra rằng đoạn \( HK \) sẽ vuông góc với cạnh \( AC \).

Với tất cả các chứng minh trên, ta đã hoàn thành và khẳng định được các tính chất của hình học trong bài toán.

Để giải bài toán, chúng ta cần chứng minh các tính chất hình học của các tứ giác và điểm trong tam giác vuông. Ta sẽ giải từng phần của bài toán một cách chi tiết.

a) Chứng minh tứ giác ABMC là hình chữ nhật
Dữ kiện:

Tam giác ABCABCABC vuông tại AAA với AB<ACAB < ACAB<AC.
DDD, EEE, và FFF lần lượt là trung điểm của ABABAB, ACACAC, và BCBCBC.
MMM là điểm đối xứng với AAA qua FFF.
Chứng minh:

Vì DDD và EEE là trung điểm của ABABAB và ACACAC, ta có:

AD=DBAD = DBAD=DB
AE=ECAE = ECAE=EC
DEDEDE là đoạn trung bình của tam giác ABCABCABC, nên DE∥BCDE \parallel BCDE∥BC và DE=12BCDE = \frac{1}{2} BCDE=21​BC.
MMM là điểm đối xứng của AAA qua FFF, tức là FFF là trung điểm của đoạn AMAMAM.
Để chứng minh ABMCABMCABMC là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các góc tại BBB và CCC là góc vuông và cạnh đối diện song song và bằng nhau.

Xét tam giác vuông ABCABCABC:

AB⊥ACAB \perp ACAB⊥AC tại AAA.
∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ∠BAC=90∘.
Đoạn BFBFBF và CFCFCF đều là trung tuyến trong tam giác vuông ABCABCABC, vì vậy:

BF=CFBF = CFBF=CF.
Đoạn BFBFBF và CFCFCF đều vuông góc với đường cao AHAHAH.
Ta có:

MMM là điểm đối xứng của AAA qua FFF, nên AF=FMAF = FMAF=FM và AM=2AFAM = 2AFAM=2AF.
Tứ giác ABMCABMCABMC sẽ là hình chữ nhật nếu:

ABABAB và MCMCMC song song và bằng nhau.
BMBMBM và ACACAC song song và bằng nhau.
Các góc tại BBB và CCC là góc vuông.
Do DDD và EEE là trung điểm, đoạn DEDEDE song song với BCBCBC, và chiều dài đoạn DE=12BCDE = \frac{1}{2} BCDE=21​BC. Từ đó, ta có thể suy ra rằng ABMCABMCABMC là hình chữ nhật vì BMBMBM song song và bằng ACACAC, và ABABAB song song và bằng MCMCMC, và các góc vuông tại BBB và CCC.
b) Chứng minh tứ giác BDEF là hình bình hành
Dữ kiện:

DDD, EEE, và FFF lần lượt là trung điểm của ABABAB, ACACAC, và BCBCBC.
Chứng minh:

Tứ giác BDEFBDEFBDEF có hai cặp cạnh đối diện là BDBDBD và EFEFEF, DEDEDE và BFBFBF.
DDD và EEE là trung điểm của ABABAB và ACACAC, FFF là trung điểm của BCBCBC, nên:

DE∥BFDE \parallel BFDE∥BF và DE=12BCDE = \frac{1}{2} BCDE=21​BC.
BD∥EFBD \parallel EFBD∥EF và BD=12ACBD = \frac{1}{2} ACBD=21​AC (tương tự như DEDEDE).
Vì DE∥BFDE \parallel BFDE∥BF và BD∥EFBD \parallel EFBD∥EF, và hai cặp cạnh đối diện vừa song song vừa bằng nhau, nên BDEFBDEFBDEF là hình bình hành.
c) Chứng minh AB là tia phân giác của GAF
Dữ kiện:

GGG là điểm đối xứng của FFF qua DDD.
Chứng minh:

Do GGG là điểm đối xứng của FFF qua DDD, ta có:

DDD là trung điểm của đoạn FGFGFG.
DF=DGDF = DGDF=DG.
Để chứng minh ABABAB là tia phân giác của ∠GAF\angle GAF∠GAF, ta cần chứng minh rằng ABABAB chia ∠GAF\angle GAF∠GAF thành hai góc bằng nhau.
Xét các tam giác:

△ADF\triangle ADF△ADF và △ADG\triangle ADG△ADG là hai tam giác vuông tại AAA.
Do DDD là trung điểm của FGFGFG và FFF đối xứng qua DDD nên DF=DGDF = DGDF=DG.
Do đó, tia ABABAB chia góc ∠GAF\angle GAF∠GAF thành hai góc bằng nhau, vì ∠BAD=∠GAF/2\angle BAD = \angle GAF / 2∠BAD=∠GAF/2 và tương tự, ∠BAF=∠GAF/2\angle BAF = \angle GAF / 2∠BAF=∠GAF/2.
d) Chứng minh HK vuông góc với AC
Dữ kiện:

Kẻ đường cao AHAHAH của tam giác ABCABCABC (với HHH thuộc BCBCBC).
Đường thẳng qua AAA song song với DHDHDH cắt DEDEDE tại KKK.
Chứng minh:

Vì DHDHDH là đường cao trong tam giác vuông ABCABCABC, DHDHDH vuông góc với BCBCBC.
Đường thẳng qua AAA song song với DHDHDH nên cũng vuông góc với BCBCBC.
Đoạn DEDEDE cắt đường thẳng song song với DHDHDH tại KKK, do đó:

HKHKHK và DHDHDH đều vuông góc với BCBCBC, từ đó HKHKHK cũng vuông góc với ACACAC (vì BC⊥ACBC \perp ACBC⊥AC)