Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = \frac{4}{x} + x + 1 \) trên đoạn \([1, 3]\), chúng ta thực hiện các bước sau:

1. **Tính đạo hàm của hàm số:**

Tính đạo hàm \( f'(x) \) để xác định các điểm cực trị trong khoảng \( (1, 3) \):
\[
f(x) = \frac{4}{x} + x + 1
\]
\[
f'(x) = -\frac{4}{x^2} + 1
\]

2. **Tìm điểm cực trị:**

Đặt \( f'(x) = 0 \):
\[
-\frac{4}{x^2} + 1 = 0
\]
\[
\frac{4}{x^2} = 1
\]
\[
x^2 = 4
\]
\[
x = 2 \text{ (chọn giá trị dương)}
\]

Vì \( x = 2 \) nằm trong đoạn \([1, 3]\), nên nó là một điểm cần kiểm tra.

3. **Tính giá trị của hàm số tại các điểm cần kiểm tra:**

- **Tại \( x = 1 \):**
\[
f(1) = \frac{4}{1} + 1 + 1 = 6
\]

- **Tại \( x = 2 \):**
\[
f(2) = \frac{4}{2} + 2 + 1 = 2 + 2 + 1 = 5
\]

- **Tại \( x = 3 \):**
\[
f(3) = \frac{4}{3} + 3 + 1 = \frac{4}{3} + 4 = \frac{4 + 12}{3} = \frac{16}{3} \approx 5.33
\]

4. **So sánh các giá trị:**

- \( f(1) = 6 \)
- \( f(2) = 5 \)
- \( f(3) = \frac{16}{3} \approx 5.33 \)

Vì vậy, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([1, 3]\) là \( 6 \) tại \( x = 1 \), và giá trị nhỏ nhất là \( 5 \) tại \( x = 2 \).