Để tính giá trị của biểu thức \( A = \sin^2 21^\circ + \sin^2 35^\circ + \sin^2 55^\circ + \sin^2 69^\circ \), chúng ta có thể sử dụng một số định lý và công thức lượng giác. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết:

1. **Sử dụng Công thức Sin^2:**

Một công thức hữu ích là:
\[
\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}
\]
Áp dụng công thức này cho từng góc:
\[
\sin^2 21^\circ = \frac{1 - \cos 42^\circ}{2}
\]
\[
\sin^2 35^\circ = \frac{1 - \cos 70^\circ}{2}
\]
\[
\sin^2 55^\circ = \frac{1 - \cos 110^\circ}{2}
\]
\[
\sin^2 69^\circ = \frac{1 - \cos 138^\circ}{2}
\]

2. **Tính giá trị của từng cos:**

Ta cần biết giá trị của các cos góc 42°, 70°, 110°, và 138°.

Lưu ý rằng:
\[
\cos(90^\circ - x) = \sin x
\]
\[
\cos 110^\circ = -\cos (180^\circ - 110^\circ) = -\cos 70^\circ
\]
\[
\cos 138^\circ = -\cos (180^\circ - 138^\circ) = -\cos 42^\circ
\]

Sử dụng các giá trị này, ta có:
\[
\cos 110^\circ = -\cos 70^\circ
\]
\[
\cos 138^\circ = -\cos 42^\circ
\]

3. **Tính giá trị của biểu thức:**

Ta có:
\[
\sin^2 21^\circ + \sin^2 35^\circ + \sin^2 55^\circ + \sin^2 69^\circ
\]
Thay thế các giá trị theo công thức:
\[
= \frac{1 - \cos 42^\circ}{2} + \frac{1 - \cos 70^\circ}{2} + \frac{1 - \cos 110^\circ}{2} + \frac{1 - \cos 138^\circ}{2}
\]
\[
= \frac{4 - (\cos 42^\circ + \cos 70^\circ + \cos 110^\circ + \cos 138^\circ)}{2}
\]

4. **Tính tổng của các cos:**

Ta có thể sử dụng tính chất đối xứng và cộng hợp của các giá trị cos để kết luận. Tổng các giá trị cos này thực ra bằng 0:
\[
\cos 42^\circ + \cos 70^\circ + \cos 110^\circ + \cos 138^\circ = 0
\]

Vì vậy:
\[
\frac{4 - 0}{2} = 2
\]

Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là \( \boxed{2} \).

Để tính giá trị biểu thức

\[
A = \sin^2 21^\circ + \sin^2 35^\circ + \sin^2 55^\circ + \sin^2 69^\circ,
\]

ta sẽ sử dụng một số tính chất của hàm sin.

### Bước 1: Nhận diện mối quan hệ giữa các góc
Ta biết rằng:

\[
\sin(90^\circ - x) = \cos x.
\]

Áp dụng cho các góc trong biểu thức:

- \( \sin^2 69^\circ = \cos^2 21^\circ \),
- \( \sin^2 55^\circ = \cos^2 35^\circ \).

Vì vậy, ta có thể viết lại biểu thức:

\[
A = \sin^2 21^\circ + \sin^2 35^\circ + \cos^2 35^\circ + \cos^2 21^\circ.
\]

### Bước 2: Sử dụng đẳng thức của hàm sin và cos
Theo định nghĩa, ta có:

\[
\sin^2 x + \cos^2 x = 1.
\]

Áp dụng cho các góc:

- \( \sin^2 21^\circ + \cos^2 21^\circ = 1 \),
- \( \sin^2 35^\circ + \cos^2 35^\circ = 1 \).

### Bước 3: Thay vào biểu thức
Vì vậy, biểu thức \( A \) sẽ trở thành:

\[
A = (\sin^2 21^\circ + \cos^2 21^\circ) + (\sin^2 35^\circ + \cos^2 35^\circ) = 1 + 1 = 2.
\]

### Kết luận
Giá trị của biểu thức \( A \) là:

\[
\boxed{2}.
\]