Để phân tích đa thức \( 4x^3 + 4x^2 + x \) thành nhân tử, ta có thể thực hiện các bước sau:

### 1. Tìm nhân tử chung

Trước tiên, chúng ta tìm nhân tử chung của tất cả các hạng tử trong đa thức.

- Trong đa thức \( 4x^3 + 4x^2 + x \), các hạng tử đều có ít nhất một yếu tố chung là \( x \).

Ta rút \( x \) ra ngoài:
\[
4x^3 + 4x^2 + x = x(4x^2 + 4x + 1)
\]

### 2. Phân tích đa thức trong dấu ngoặc

Tiếp theo, chúng ta phân tích đa thức trong dấu ngoặc: \( 4x^2 + 4x + 1 \).

Để phân tích đa thức bậc 2 này, ta sử dụng phương pháp phân tích theo dạng bậc 2 hoặc công thức nghiệm.

Phương trình bậc 2 có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = 4 \), \( b = 4 \), và \( c = 1 \). Ta có thể kiểm tra xem đa thức có thể phân tích thành tích của hai nhị thức hay không:

\[
4x^2 + 4x + 1
\]

Sử dụng công thức nghiệm để tìm nghiệm của phương trình bậc 2 \( 4x^2 + 4x + 1 = 0 \):

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong đó \( a = 4 \), \( b = 4 \), và \( c = 1 \):

\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}
\]

\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 16}}{8}
\]

\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{0}}{8}
\]

\[
x = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}
\]

Vậy phương trình có nghiệm kép \( x = -\frac{1}{2} \).

Do đó, đa thức \( 4x^2 + 4x + 1 \) có thể viết dưới dạng bình phương của một nhị thức:

\[
4x^2 + 4x + 1 = \left(2x + 1\right)^2
\]

### 3. Kết hợp các kết quả

Thay lại vào đa thức gốc:

\[
4x^3 + 4x^2 + x = x \left(4x^2 + 4x + 1\right)
\]
\[
= x \left(2x + 1\right)^2
\]

### Kết luận

Đa thức \( 4x^3 + 4x^2 + x \) phân tích thành nhân tử là:

\[
4x^3 + 4x^2 + x = x \left(2x + 1\right)^2
\]