Với \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \) và \( 90^\circ < \alpha < 180^\circ \), ta có thể tìm các giá trị khác của các hàm lượng giác như \( \cos \alpha \), \( \tan \alpha \), và \( \cot \alpha \).

### Bước 1: Xác định giá trị của \( \cos \alpha \)
Trong khoảng \( 90^\circ < \alpha < 180^\circ \), góc \( \alpha \) nằm ở góc phần tư thứ hai, do đó \( \sin \alpha \) dương và \( \cos \alpha \) âm.

Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông, ta có:

\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]

Thay \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \) vào, ta được:

\[
\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1
\]

\[
\frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1
\]

\[
\cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
\]

\[
\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}
\]

Vì \( \alpha \) nằm ở góc phần tư thứ hai, \( \cos \alpha \) âm, nên:

\[
\cos \alpha = -\frac{4}{5}
\]

### Bước 2: Tính \( \tan \alpha \)
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}
\]

### Bước 3: Tính \( \cot \alpha \)
\[
\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{-\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3}
\]

### Kết quả
- \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \)
- \( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \)
- \( \tan \alpha = -\frac{3}{4} \)
- \( \cot \alpha = -\frac{4}{3} \)

Để giải bài toán với điều kiện \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) và \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\), chúng ta sẽ tìm các giá trị liên quan như \(\cos \alpha\), \(\tan \alpha\), và các hàm lượng giác khác của góc \(\alpha\).

### 1. **Xác định \(\cos \alpha\)**

Vì góc \(\alpha\) nằm trong khoảng từ \(90^\circ\) đến \(180^\circ\), \(\alpha\) thuộc góc thứ hai của hệ tọa độ lượng giác. Trong góc thứ hai, \(\sin \alpha\) dương và \(\cos \alpha\) âm.

Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông để tìm \(\cos \alpha\):
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]

Thay \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\):
\[
\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1
\]
\[
\frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1
\]
\[
\cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25}
\]
\[
\cos^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{9}{25}
\]
\[
\cos^2 \alpha = \frac{16}{25}
\]
\[
\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{16}{25}}
\]
\[
\cos \alpha = \pm \frac{4}{5}
\]

Vì \(\alpha\) nằm trong góc thứ hai (nơi \(\cos\) là âm):
\[
\cos \alpha = -\frac{4}{5}
\]

### 2. **Tìm \(\tan \alpha\)**

Sử dụng công thức \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\):
\[
\tan \alpha = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}
\]
\[
\tan \alpha = -\frac{3}{4}
\]

### 3. **Tính \(\cot \alpha\)**

\(\cot \alpha\) là nghịch đảo của \(\tan \alpha\):
\[
\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{4}{3}
\]

### 4. **Tính \(\sec \alpha\)**

\(\sec \alpha\) là nghịch đảo của \(\cos \alpha\):
\[
\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} = -\frac{5}{4}
\]

### 5. **Tính \(\csc \alpha\)**

\(\csc \alpha\) là nghịch đảo của \(\sin \alpha\):
\[
\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} = \frac{5}{3}
\]

### Tóm tắt các giá trị:
- \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\)
- \(\cos \alpha = -\frac{4}{5}\)
- \(\tan \alpha = -\frac{3}{4}\)
- \(\cot \alpha = -\frac{4}{3}\)
- \(\sec \alpha = -\frac{5}{4}\)
- \(\csc \alpha = \frac{5}{3}\)