Để chứng minh các khẳng định liên quan đến hai đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đoạn thẳng, ta sẽ làm như sau:

### a) Chứng minh \(\triangle OAD = \triangle OBC\)

Để chứng minh hai tam giác \(\triangle OAD\) và \(\triangle OBC\) bằng nhau, ta sử dụng các định lý và tính chất của tam giác và đoạn thẳng:

1. **Tính chất chung:**
- \(O\) là trung điểm của \(AB\), nên \(OA = OB\).
- \(O\) là trung điểm của \(CD\), nên \(OC = OD\).

2. **Xét các cặp cạnh:**
- \(OA = OB\) (Do \(O\) là trung điểm của \(AB\))
- \(OC = OD\) (Do \(O\) là trung điểm của \(CD\))
- \(AD\) và \(BC\) là các cạnh đối diện của hai tam giác \(\triangle OAD\) và \(\triangle OBC\).

3. **Xét các cặp góc:**
- Vì \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại \(O\), nên các góc đối diện nhau tại điểm \(O\) là bằng nhau, tức là:
\[
\angle AOD = \angle BOC
\]
- Tương tự, các góc còn lại:
\[
\angle OAD = \angle OBC
\]
\[
\angle ODA = \angle OCB
\]

4. **Áp dụng tiêu chuẩn đồng dạng:**
Ta có thể áp dụng tiêu chuẩn góc-cạnh-góc (A-C-A) hoặc cạnh-cạnh-cạnh (C-C-C) để chứng minh hai tam giác bằng nhau:
- \(OA = OB\)
- \(OC = OD\)
- \(\angle AOD = \angle BOC\)

Do đó:
\[
\triangle OAD = \triangle OBC
\]

### b) Chứng minh \(AD = BC\) và \(AD \parallel BC\)

Để chứng minh hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\) vừa bằng nhau vừa song song, ta sử dụng các tính chất của tam giác và đoạn thẳng:

1. **Chứng minh \(AD = BC\):**

Vì \(\triangle OAD = \triangle OBC\) (theo phần a), ta có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau:
\[
AD = BC
\]

2. **Chứng minh \(AD \parallel BC\):**

Để chứng minh hai đoạn thẳng song song, ta sử dụng tính chất của các góc trong tam giác:
- Vì hai tam giác \(\triangle OAD\) và \(\triangle OBC\) bằng nhau, các góc tương ứng của chúng cũng bằng nhau.

Do đó:
\[
\angle OAD = \angle OBC
\]
\[
\angle ODA = \angle OCB
\]

Vì các góc trong các tam giác tương ứng bằng nhau, và các góc trong cùng một mặt phẳng tạo thành một đường thẳng, nên:
\[
AD \parallel BC
\]

**Kết luận:**
- Các tam giác \(\triangle OAD\) và \(\triangle OBC\) bằng nhau.
- Các đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\) không chỉ bằng nhau mà còn song song với nhau.

### a) Chứng minh △OAD=△OBC△OAD=△OBC

Để chứng minh hai tam giác △OAD△OAD và △OBC△OBC bằng nhau, ta sử dụng các định lý và tính chất của tam giác và đoạn thẳng:

1. **Tính chất chung:**
- OO là trung điểm của ABAB, nên OA=OBOA=OB.
- OO là trung điểm của CDCD, nên OC=ODOC=OD.

2. **Xét các cặp cạnh:**
- OA=OBOA=OB (Do OO là trung điểm của ABAB)
- OC=ODOC=OD (Do OO là trung điểm của CDCD)
- ADAD và BCBC là các cạnh đối diện của hai tam giác △OAD△OAD và △OBC△OBC.

3. **Xét các cặp góc:**
- Vì ABAB và CDCD cắt nhau tại OO, nên các góc đối diện nhau tại điểm OO là bằng nhau, tức là:
∠AOD=∠BOC∠AOD=∠BOC
- Tương tự, các góc còn lại:
∠OAD=∠OBC∠OAD=∠OBC
∠ODA=∠OCB∠ODA=∠OCB

4. **Áp dụng tiêu chuẩn đồng dạng:**
Ta có thể áp dụng tiêu chuẩn góc-cạnh-góc (A-C-A) hoặc cạnh-cạnh-cạnh (C-C-C) để chứng minh hai tam giác bằng nhau:
- OA=OBOA=OB
- OC=ODOC=OD
- ∠AOD=∠BOC∠AOD=∠BOC

Do đó:
△OAD=△OBC△OAD=△OBC

### b) Chứng minh AD=BCAD=BC và AD∥BCAD∥BC

Để chứng minh hai đoạn thẳng ADAD và BCBC vừa bằng nhau vừa song song, ta sử dụng các tính chất của tam giác và đoạn thẳng:

1. **Chứng minh AD=BCAD=BC:**

Vì △OAD=△OBC△OAD=△OBC (theo phần a), ta có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau:
AD=BCAD=BC

2. **Chứng minh AD∥BCAD∥BC:**

Để chứng minh hai đoạn thẳng song song, ta sử dụng tính chất của các góc trong tam giác:
- Vì hai tam giác △OAD△OAD và △OBC△OBC bằng nhau, các góc tương ứng của chúng cũng bằng nhau.

Do đó:
∠OAD=∠OBC∠OAD=∠OBC
∠ODA=∠OCB∠ODA=∠OCB

Vì các góc trong các tam giác tương ứng bằng nhau, và các góc trong cùng một mặt phẳng tạo thành một đường thẳng, nên:
AD∥BCAD∥BC

**Kết luận:**
- Các tam giác △OAD△OAD và △OBC△OBC bằng nhau.
- Các đoạn thẳng ADAD và BCBC không chỉ bằng nhau mà còn song song với nhau.