Để chứng minh rằng nếu \( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = (a + b - 2c)^2 + (b + c - 2a)^2 + (c + a - 2b)^2 \) thì \( a = b = c \), chúng ta sẽ thực hiện các bước chứng minh sau đây:

### Bước 1: Rút gọn vế trái của phương trình

Xét vế trái của phương trình:

\[
(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2
\]

Mở rộng từng bình phương:

\[
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
\]

\[
(b - c)^2 = b^2 - 2bc + c^2
\]

\[
(c - a)^2 = c^2 - 2ca + a^2
\]

Cộng tất cả các hạng tử:

\[
(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2)
\]

\[
= 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca
\]

\[
= 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)
\]

### Bước 2: Rút gọn vế phải của phương trình

Xét vế phải của phương trình:

\[
(a + b - 2c)^2 + (b + c - 2a)^2 + (c + a - 2b)^2
\]

Mở rộng từng bình phương:

\[
(a + b - 2c)^2 = a^2 + b^2 + 4c^2 + 2ab - 4ac - 4bc
\]

\[
(b + c - 2a)^2 = b^2 + c^2 + 4a^2 + 2bc - 4ab - 4ac
\]

\[
(c + a - 2b)^2 = c^2 + a^2 + 4b^2 + 2ca - 4ab - 4bc
\]

Cộng tất cả các hạng tử:

\[
(a + b - 2c)^2 + (b + c - 2a)^2 + (c + a - 2b)^2
\]

\[
= [a^2 + b^2 + 4c^2 + 2ab - 4ac - 4bc] + [b^2 + c^2 + 4a^2 + 2bc - 4ab - 4ac] + [c^2 + a^2 + 4b^2 + 2ca - 4ab - 4bc]
\]

Nhóm các hạng tử:

\[
= (a^2 + b^2 + c^2) + (a^2 + b^2 + c^2) + (4a^2 + 4b^2 + 4c^2) + (2ab - 4ab - 4ab + 2bc - 4bc - 4bc + 2ca - 4ac - 4ac)
\]

\[
= 6a^2 + 6b^2 + 6c^2 - 6ab - 6bc - 6ca
\]

\[
= 6(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)
\]

### Bước 3: So sánh vế trái và vế phải

Từ các phép tính trên, ta có:

\[
(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)
\]

\[
(a + b - 2c)^2 + (b + c - 2a)^2 + (c + a - 2b)^2 = 6(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)
\]

Theo giả thiết, chúng ta có:

\[
2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 6(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)
\]

Chia cả hai vế cho \( a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \) (nếu không bằng 0):

\[
2 = 6
\]

Điều này mâu thuẫn, trừ khi \( a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0 \). Nếu \( a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0 \), thì ta có:

\[
a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0
\]

Điều này có nghĩa rằng:

\[
(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0
\]

Do \( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \geq 0 \) và chỉ bằng 0 khi \( a = b = c \), ta có \( a = b = c \).

### Kết luận

Ta đã chứng minh rằng nếu:

\[
(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = (a + b - 2c)^2 + (b + c - 2a)^2 + (c + a - 2b)^2
\]

thì:

\[
a = b = c
\]