Để tính các biểu thức, ta sẽ thực hiện các bước đơn giản hóa và phép cộng, trừ, nhân, chia các phân số. Dưới đây là các bước chi tiết cho từng biểu thức:

**a. \(\frac{2x}{9x^2y} + \frac{3y}{4xy^2}\)**

Để cộng các phân số, ta cần quy đồng mẫu số:

- Mẫu số chung của các phân số là \(36x^2y^2\).

- Quy đồng mẫu số:

\[
\frac{2x}{9x^2y} = \frac{2x \cdot 4y^2}{9x^2y \cdot 4y^2} = \frac{8xy^2}{36x^2y^2}
\]

\[
\frac{3y}{4xy^2} = \frac{3y \cdot 9x^2}{4xy^2 \cdot 9x^2} = \frac{27x^2y}{36x^2y^2}
\]

- Cộng các phân số:

\[
\frac{8xy^2}{36x^2y^2} + \frac{27x^2y}{36x^2y^2} = \frac{8xy^2 + 27x^2y}{36x^2y^2}
\]

Vậy biểu thức đơn giản hóa là:

\[
\frac{8xy^2 + 27x^2y}{36x^2y^2}
\]

**b. \(\frac{3 + x}{x + 1} + \frac{x - 1}{x - 2}\)**

Để cộng các phân số, ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung là \((x + 1)(x - 2)\):

- Quy đồng mẫu số:

\[
\frac{3 + x}{x + 1} = \frac{(3 + x)(x - 2)}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{3x - 6 + x^2 - 2x}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{x^2 + x - 6}{(x + 1)(x - 2)}
\]

\[
\frac{x - 1}{x - 2} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{x^2 - 1}{(x - 2)(x + 1)}
\]

- Cộng các phân số:

\[
\frac{x^2 + x - 6 + x^2 - 1}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{2x^2 + x - 7}{(x + 1)(x - 2)}
\]

Vậy biểu thức đơn giản hóa là:

\[
\frac{2x^2 + x - 7}{(x + 1)(x - 2)}
\]

**c. \(\frac{x - 3}{x + 4} - \frac{x - 3}{x - 4}\)**

Để trừ các phân số, ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung là \((x + 4)(x - 4)\):

- Quy đồng mẫu số:

\[
\frac{x - 3}{x + 4} = \frac{(x - 3)(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)} = \frac{x^2 - 7x + 12}{(x + 4)(x - 4)}
\]

\[
\frac{x - 3}{x - 4} = \frac{(x - 3)(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{x^2 + x - 12}{(x - 4)(x + 4)}
\]

- Trừ các phân số:

\[
\frac{x^2 - 7x + 12 - (x^2 + x - 12)}{(x + 4)(x - 4)} = \frac{x^2 - 7x + 12 - x^2 - x + 12}{(x + 4)(x - 4)}
\]
\[
= \frac{-8x + 24}{(x + 4)(x - 4)}
\]
\[
= \frac{-8(x - 3)}{(x + 4)(x - 4)}
\]

Vậy biểu thức đơn giản hóa là:

\[
\frac{-8(x - 3)}{(x + 4)(x - 4)}
\]

**d. \(\frac{5x - 1}{x^2 + x} - \frac{5x + 1}{x^2 - 1}\)**

Để trừ các phân số, ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung là \((x^2 + x)(x^2 - 1)\):

- Quy đồng mẫu số:

\[
\frac{5x - 1}{x^2 + x} = \frac{(5x - 1)(x^2 - 1)}{(x^2 + x)(x^2 - 1)} = \frac{5x(x^2 - 1) - (x^2 - 1)}{(x^2 + x)(x^2 - 1)}
\]
\[
= \frac{5x^3 - 5x - x^2 + 1}{(x^2 + x)(x^2 - 1)}
\]

\[
\frac{5x + 1}{x^2 - 1} = \frac{(5x + 1)(x^2 + x)}{(x^2 - 1)(x^2 + x)} = \frac{5x(x^2 + x) + (x^2 + x)}{(x^2 - 1)(x^2 + x)}
\]
\[
= \frac{5x^3 + 5x^2 + x^2 + x}{(x^2 - 1)(x^2 + x)}
\]
\[
= \frac{5x^3 + 6x^2 + x}{(x^2 - 1)(x^2 + x)}
\]

- Trừ các phân số:

\[
\frac{5x^3 - 5x - x^2 + 1 - (5x^3 + 6x^2 + x)}{(x^2 + x)(x^2 - 1)}
\]
\[
= \frac{5x^3 - 5x - x^2 + 1 - 5x^3 - 6x^2 - x}{(x^2 + x)(x^2 - 1)}
\]
\[
= \frac{-7x^2 - 6x + 1}{(x^2 + x)(x^2 - 1)}
\]

Vậy biểu thức đơn giản hóa là:

\[
\frac{-7x^2 - 6x + 1}{(x^2 + x)(x^2 - 1)}
\]