Để tính giá trị của \( A = \tan 5^\circ \cdot \tan 10^\circ \cdot \tan 15^\circ \cdot \ldots \cdot \tan 80^\circ \cdot \tan 85^\circ \), ta sẽ sử dụng các tính chất của hàm tang và các công thức liên quan.

### **Bước 1: Xem xét các cặp góc đối xứng**

Những góc tang mà chúng ta đang xét có tính chất đối xứng xung quanh góc 45°. Cụ thể:

\[
\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta
\]

Do đó, ta có:

\[
\tan 85^\circ = \cot 5^\circ
\]
\[
\tan 80^\circ = \cot 10^\circ
\]
\[
\tan 75^\circ = \cot 15^\circ
\]
\[
\ldots
\]
\[
\tan 10^\circ = \cot 80^\circ
\]
\[
\tan 5^\circ = \cot 85^\circ
\]

### **Bước 2: Nhóm các cặp góc**

Nhóm các góc có tang và cotang:

\[
(\tan 5^\circ \cdot \tan 85^\circ) = \tan 5^\circ \cdot \cot 5^\circ = 1
\]

\[
(\tan 10^\circ \cdot \tan 80^\circ) = \tan 10^\circ \cdot \cot 10^\circ = 1
\]

\[
(\tan 15^\circ \cdot \tan 75^\circ) = \tan 15^\circ \cdot \cot 15^\circ = 1
\]

\[
(\tan 20^\circ \cdot \tan 70^\circ) = \tan 20^\circ \cdot \cot 20^\circ = 1
\]

\[
(\tan 25^\circ \cdot \tan 65^\circ) = \tan 25^\circ \cdot \cot 25^\circ = 1
\]

\[
(\tan 30^\circ \cdot \tan 60^\circ) = \tan 30^\circ \cdot \cot 30^\circ = 1
\]

\[
(\tan 35^\circ \cdot \tan 55^\circ) = \tan 35^\circ \cdot \cot 35^\circ = 1
\]

\[
(\tan 40^\circ \cdot \tan 50^\circ) = \tan 40^\circ \cdot \cot 40^\circ = 1
\]

\[
(\tan 45^\circ) = 1
\]

### **Bước 3: Tính tổng sản phẩm**

Tổng số các cặp góc là 8 cặp cộng với góc giữa là 45°. Vì vậy, tổng sản phẩm là:

\[
A = (\tan 5^\circ \cdot \tan 85^\circ) \cdot (\tan 10^\circ \cdot \tan 80^\circ) \cdot (\tan 15^\circ \cdot \tan 75^\circ) \cdot (\tan 20^\circ \cdot \tan 70^\circ) \cdot (\tan 25^\circ \cdot \tan 65^\circ) \cdot (\tan 30^\circ \cdot \tan 60^\circ) \cdot (\tan 35^\circ \cdot \tan 55^\circ) \cdot (\tan 40^\circ \cdot \tan 50^\circ) \cdot \tan 45^\circ
\]

Mỗi cặp góc cho giá trị 1, và \( \tan 45^\circ = 1 \), vì vậy:

\[
A = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1
\]

### **Kết luận**

Giá trị của \( A \) là \( 1 \).