Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B = |5x - 6| + 3 + 5x$, ta cần phân tích và xét từng trường hợp của giá trị tuyệt đối $|5x - 6|$.

### Trường hợp 1: $5x - 6 \geq 0$
Khi $5x - 6 \geq 0$, tức là $x \geq \frac{6}{5}$, ta có:
$|5x - 6| = 5x - 6$

Thay vào biểu thức $B$, ta có:
$B = (5x - 6) + 3 + 5x = 10x - 3$

### Trường hợp 2: $5x - 6 < 0$
Khi $5x - 6 < 0$, tức là $x < \frac{6}{5}$, ta có:
$|5x - 6| = -(5x - 6) = -5x + 6$

Thay vào biểu thức $B$, ta có:
$B = (-5x + 6) + 3 + 5x = 9$

### Tìm giá trị nhỏ nhất
- Trong trường hợp 1 ($x \geq \frac{6}{5}$), $B = 10x - 3$ là một hàm số tuyến tính tăng dần theo $x$, nên giá trị nhỏ nhất của nó đạt được tại điểm $x = \frac{6}{5}$:
$B = 10 \cdot \frac{6}{5} - 3 = 12 - 3 = 9$

- Trong trường hợp 2 ($x < \frac{6}{5}$), $B = 9$ là hằng số, nên giá trị của $B$ luôn bằng 9.

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B$ là $9$.

Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức

$B = |5x - 6| + 3 + 5x,$

chúng ta cần phân tích biểu thức theo các trường hợp của giá trị tuyệt đối $|5x - 6|$.

### Bước 1: Phân tích theo hai trường hợp

1. **Trường hợp 1: $5x - 6 \geq 0$ (tương đương với $x \geq \frac{6}{5}$)**

Khi đó, $|5x - 6| = 5x - 6$. Ta có:
$B = (5x - 6) + 3 + 5x = 10x - 3.$

2. **Trường hợp 2: $5x - 6 < 0$ (tương đương với $x < \frac{6}{5}$)**

Khi đó, $|5x - 6| = -(5x - 6) = -5x + 6$. Ta có:
$B = (-5x + 6) + 3 + 5x = 9.$

### Bước 2: Tính giá trị nhỏ nhất

- **Trong trường hợp 1**: $B = 10x - 3$

Biểu thức này là một hàm số do $10x$ là một hàm số tăng. Do đó, $B$ sẽ nhỏ nhất khi $x$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{6}{5}$:
$B\left(\frac{6}{5}\right) = 10\left(\frac{6}{5}\right) - 3 = 12 - 3 = 9.$

- **Trong trường hợp 2**: $B = 9$

### Bước 3: So sánh các giá trị

Sau khi phân tích, ta có hai trường hợp:
- Trong trường hợp 1, khi $x \geq \frac{6}{5}$, GTNN của $B$ là 9.
- Trong trường hợp 2, khi $x < \frac{6}{5}$, GTNN là 9.

### Kết luận

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B$ là:

$\boxed{9}.$

GTNN đạt được ở mọi giá trị của $x$ trong cả hai trường hợp: $x$ có thể là bất kỳ giá trị nào nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{6}{5}$.