Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( B = |5x - 6| + 3 + 5x \), ta cần phân tích và xét từng trường hợp của giá trị tuyệt đối \( |5x - 6| \).

### Trường hợp 1: \( 5x - 6 \geq 0 \)
Khi \( 5x - 6 \geq 0 \), tức là \( x \geq \frac{6}{5} \), ta có:
\[ |5x - 6| = 5x - 6 \]

Thay vào biểu thức \( B \), ta có:
\[ B = (5x - 6) + 3 + 5x = 10x - 3 \]

### Trường hợp 2: \( 5x - 6 < 0 \)
Khi \( 5x - 6 < 0 \), tức là \( x < \frac{6}{5} \), ta có:
\[ |5x - 6| = -(5x - 6) = -5x + 6 \]

Thay vào biểu thức \( B \), ta có:
\[ B = (-5x + 6) + 3 + 5x = 9 \]

### Tìm giá trị nhỏ nhất
- Trong trường hợp 1 (\( x \geq \frac{6}{5} \)), \( B = 10x - 3 \) là một hàm số tuyến tính tăng dần theo \( x \), nên giá trị nhỏ nhất của nó đạt được tại điểm \( x = \frac{6}{5} \):
\[ B = 10 \cdot \frac{6}{5} - 3 = 12 - 3 = 9 \]

- Trong trường hợp 2 (\( x < \frac{6}{5} \)), \( B = 9 \) là hằng số, nên giá trị của \( B \) luôn bằng 9.

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( B \) là \( 9 \).

Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức

\[
B = |5x - 6| + 3 + 5x,
\]

chúng ta cần phân tích biểu thức theo các trường hợp của giá trị tuyệt đối \( |5x - 6| \).

### Bước 1: Phân tích theo hai trường hợp

1. **Trường hợp 1: \( 5x - 6 \geq 0 \) (tương đương với \( x \geq \frac{6}{5} \))**

Khi đó, \( |5x - 6| = 5x - 6 \). Ta có:
\[
B = (5x - 6) + 3 + 5x = 10x - 3.
\]

2. **Trường hợp 2: \( 5x - 6 < 0 \) (tương đương với \( x < \frac{6}{5} \))**

Khi đó, \( |5x - 6| = -(5x - 6) = -5x + 6 \). Ta có:
\[
B = (-5x + 6) + 3 + 5x = 9.
\]

### Bước 2: Tính giá trị nhỏ nhất

- **Trong trường hợp 1**: \( B = 10x - 3 \)

Biểu thức này là một hàm số do \( 10x \) là một hàm số tăng. Do đó, \( B \) sẽ nhỏ nhất khi \( x \) đạt giá trị nhỏ nhất là \( \frac{6}{5} \):
\[
B\left(\frac{6}{5}\right) = 10\left(\frac{6}{5}\right) - 3 = 12 - 3 = 9.
\]

- **Trong trường hợp 2**: \( B = 9 \)

### Bước 3: So sánh các giá trị

Sau khi phân tích, ta có hai trường hợp:
- Trong trường hợp 1, khi \( x \geq \frac{6}{5} \), GTNN của \( B \) là 9.
- Trong trường hợp 2, khi \( x < \frac{6}{5} \), GTNN là 9.

### Kết luận

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( B \) là:

\[
\boxed{9}.
\]

GTNN đạt được ở mọi giá trị của \( x \) trong cả hai trường hợp: \( x \) có thể là bất kỳ giá trị nào nhỏ hơn hoặc bằng \( \frac{6}{5} \).