Để hàm số \[ f(x) = \frac{x^2 + mx + 1}{x + m} \] đạt cực đại tại \( x = 2 \), ta cần tính đạo hàm của hàm số và tìm điều kiện để đạo hàm bằng 0 tại \( x = 2 \).

### Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số

Hàm số \( f(x) = \frac{x^2 + mx + 1}{x + m} \) là một phân thức, vì vậy ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức:

\[
f'(x) = \frac{(x + m) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + mx + 1) - (x^2 + mx + 1) \cdot \frac{d}{dx}(x + m)}{(x + m)^2}
\]

Tính các đạo hàm riêng lẻ:

- Đạo hàm của tử số \( x^2 + mx + 1 \) là \( 2x + m \).
- Đạo hàm của mẫu số \( x + m \) là \( 1 \).

Áp dụng quy tắc đạo hàm phân thức:

\[
f'(x) = \frac{(x + m) \cdot (2x + m) - (x^2 + mx + 1) \cdot 1}{(x + m)^2}
\]

Rút gọn tử số:

\[
f'(x) = \frac{(x + m)(2x + m) - (x^2 + mx + 1)}{(x + m)^2}
\]

Tính tích của các đa thức trong tử số:

\[
(x + m)(2x + m) = 2x^2 + mx + 2mx + m^2 = 2x^2 + 3mx + m^2
\]

\[
f'(x) = \frac{2x^2 + 3mx + m^2 - x^2 - mx - 1}{(x + m)^2}
\]

\[
f'(x) = \frac{x^2 + 2mx + m^2 - 1}{(x + m)^2}
\]

### Bước 2: Tìm điều kiện cực đại tại \( x = 2 \)

Để hàm số đạt cực đại tại \( x = 2 \), ta cần đạo hàm \( f'(x) \) bằng 0 tại \( x = 2 \):

\[
f'(2) = \frac{2^2 + 2m \cdot 2 + m^2 - 1}{(2 + m)^2} = 0
\]

Giải phương trình trong tử số:

\[
4 + 4m + m^2 - 1 = 0
\]

\[
m^2 + 4m + 3 = 0
\]

Giải phương trình bậc 2 này:

\[
m^2 + 4m + 3 = (m + 1)(m + 3) = 0
\]

Nghiệm của phương trình:

\[
m + 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad m + 3 = 0
\]

\[
m = -1 \quad \text{hoặc} \quad m = -3
\]

### Kết luận

Để hàm số \( \frac{x^2 + mx + 1}{x + m} \) đạt cực đại tại \( x = 2 \), giá trị của \( m \) phải là **-1** hoặc **-3**.