Để khảo sát sự biến thiên của hàm số y=−x3+3x2+9xy=−x3+3x2+9x, ta cần thực hiện các bước sau:

Tìm đạo hàm:
y′=f′(x)=−3x2+6x+9y′=f′(x)=−3x2+6x+9
Giải phương trình f′(x)=0f′(x)=0:
−3x2+6x+9=0⇒x2−2x−3=0⇒(x−3)(x+1)=0−3x2+6x+9=0⇒x2−2x−3=0⇒(x−3)(x+1)=0
Nghiệm: x=3x=3 và x=−1x=−1.

Xác định khoảng biến thiên:

Kiểm tra dấu của f′(x)f′(x) trên các khoảng (−∞,−1)(−∞,−1), (−1,3)(−1,3), và (3,+∞)(3,+∞):Khi x<−1x<−1, f′(x)>0f′(x)>0 (hàm số tăng)
Khi −1<x<3−1<x<3, f′(x)<0f′(x)<0 (hàm số giảm)
Khi x>3x>3, f′(x)>0f′(x)>0 (hàm số tăng)
Tìm cực trị:

Cực đại tại x=−1x=−1.
Cực tiểu tại x=3x=3.
Tính giá trị hàm số tại các điểm:f(−1)=−(−1)3+3(−1)2+9(−1)=1+3−9=−5f(−1)=−(−1)3+3(−1)2+9(−1)=1+3−9=−5
f(3)=−(3)3+3(3)2+9(3)=−27+27+27=27f(3)=−(3)3+3(3)2+9(3)=−27+27+27=27
Vẽ đồ thị:

Điểm cực đại: (-1, -5)
Điểm cực tiểu: (3, 27)
Đồ thị hàm số sẽ có dạng hình chữ W với sự tăng giảm tương ứng với các khoảng.
Như vậy, hàm số này có cực đại tại (−1,−5)(−1,−5) và cực tiểu tại (3,27)(3,27).