Để tìm số nghiệm của phương trình \(2\tan x - 2\cot x - 3 = 0\) trong khoảng \((- \frac{\pi}{2}, \pi)\), ta làm theo các bước sau:

### Bước 1: Chuyển đổi \(\cot x\) thành \(\tan x\)

Biết rằng \(\cot x = \frac{1}{\tan x}\), ta thay vào phương trình:

\[
2\tan x - 2\cot x - 3 = 0
\]

\[
2\tan x - 2 \cdot \frac{1}{\tan x} - 3 = 0
\]

Đặt \(t = \tan x\), thì phương trình trở thành:

\[
2t - \frac{2}{t} - 3 = 0
\]

### Bước 2: Giải phương trình đối với \(t\)

Nhân cả phương trình với \(t\) để loại bỏ phân số:

\[
2t^2 - 2 - 3t = 0
\]

Sắp xếp lại:

\[
2t^2 - 3t - 2 = 0
\]

### Bước 3: Giải phương trình bậc hai

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(at^2 + bt + c = 0\):

\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Ở đây \(a = 2\), \(b = -3\), và \(c = -2\). Thay vào công thức:

\[
t = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2}
\]

\[
t = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4}
\]

\[
t = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4}
\]

\[
t = \frac{3 \pm 5}{4}
\]

Tính toán nghiệm:

\[
t = \frac{3 + 5}{4} = 2 \quad \text{và} \quad t = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}
\]

### Bước 4: Tìm nghiệm của \( \tan x \)

Vậy chúng ta có hai giá trị của \(\tan x\):

\[
\tan x = 2 \quad \text{và} \quad \tan x = -\frac{1}{2}
\]

### Bước 5: Tính số nghiệm trong khoảng \((- \frac{\pi}{2}, \pi)\)

- **Với \(\tan x = 2\)**:

Hàm \(\tan x\) có chu kỳ \(\pi\), nên nghiệm trong khoảng \((- \frac{\pi}{2}, \pi)\) là:

\[
x = \tan^{-1}(2) + k\pi
\]

Với \(k = 0\):

\[
x = \tan^{-1}(2) \quad \text{(nằm trong khoảng)}
\]

Với \(k = -1\):

\[
x = \tan^{-1}(2) - \pi
\]

Nghiệm này nằm trong khoảng \((- \frac{\pi}{2}, \pi)\).

- **Với \(\tan x = -\frac{1}{2}\)**:

Hàm \(\tan x\) có chu kỳ \(\pi\), nên nghiệm trong khoảng \((- \frac{\pi}{2}, \pi)\) là:

\[
x = \tan^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) + k\pi
\]

Với \(k = 0\):

\[
x = \tan^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) \quad \text{(nằm trong khoảng)}
\]

Với \(k = 1\):

\[
x = \tan^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi
\]

Nghiệm này nằm trong khoảng \((- \frac{\pi}{2}, \pi)\).

### Kết luận

Với mỗi giá trị của \(\tan x\) (2 và -\(\frac{1}{2}\)), có hai nghiệm nằm trong khoảng \((- \frac{\pi}{2}, \pi)\). Tổng cộng, số nghiệm của phương trình trong khoảng \((- \frac{\pi}{2}, \pi)\) là **4**.