Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
u_2 + u_3 + u_4 = \frac{35}{2} \\
u_1 \cdot u_5 = 25 \\
u_i > 0
\end{cases}
\]

với \(i\) là các chỉ số từ 1 đến 5, ta có thể tìm các giá trị của các \(u_i\) bằng cách sử dụng các phương pháp đại số.

### Bước 1: Giải phương trình đầu tiên

Phương trình đầu tiên là:

\[
u_2 + u_3 + u_4 = \frac{35}{2}
\]

### Bước 2: Giải phương trình thứ hai

Phương trình thứ hai là:

\[
u_1 \cdot u_5 = 25
\]

### Bước 3: Xác định điều kiện

Tất cả các \(u_i > 0\), tức là tất cả các giá trị \(u_i\) phải là số dương.

### Bước 4: Tìm các giá trị của \(u_i\)

1. **Tìm \(u_1\) và \(u_5\)**:
- \(u_1\) và \(u_5\) phải là các số dương sao cho tích của chúng là 25. Một số cặp số thỏa mãn điều kiện này là:
- \(u_1 = 1\) và \(u_5 = 25\)
- \(u_1 = 5\) và \(u_5 = 5\)
- \(u_1 = 25\) và \(u_5 = 1\)

2. **Tìm \(u_2\), \(u_3\), và \(u_4\)**:
- Đối với mỗi cặp giá trị của \(u_1\) và \(u_5\), ta cần tìm \(u_2\), \(u_3\), và \(u_4\) sao cho tổng của chúng là \(\frac{35}{2}\).

### Ví dụ:

#### Ví dụ 1:

- Chọn \(u_1 = 5\) và \(u_5 = 5\).

Với điều này, phương trình đầu tiên trở thành:

\[
u_2 + u_3 + u_4 = \frac{35}{2}
\]

- Ta có thể chọn bất kỳ giá trị nào cho \(u_2\), \(u_3\), và \(u_4\) sao cho tổng của chúng bằng \(\frac{35}{2}\). Ví dụ:

- Chọn \(u_2 = 5\), \(u_3 = 10\), và \(u_4 = \frac{35}{2} - 15 = \frac{5}{2}\).

Ta có:

\[
u_2 = 5
\]
\[
u_3 = 10
\]
\[
u_4 = \frac{5}{2}
\]
\[
u_5 = 5
\]

#### Ví dụ 2:

- Chọn \(u_1 = 1\) và \(u_5 = 25\).

Với điều này, phương trình đầu tiên trở thành:

\[
u_2 + u_3 + u_4 = \frac{35}{2}
\]

- Ta có thể chọn bất kỳ giá trị nào cho \(u_2\), \(u_3\), và \(u_4\) sao cho tổng của chúng bằng \(\frac{35}{2}\). Ví dụ:

- Chọn \(u_2 = 10\), \(u_3 = 10\), và \(u_4 = \frac{35}{2} - 20 = \frac{15}{2}\).

Ta có:

\[
u_2 = 10
\]
\[
u_3 = 10
\]
\[
u_4 = \frac{15}{2}
\]
\[
u_5 = 25
\]

### Tổng kết:

Các giá trị của các \(u_i\) có thể thay đổi tuỳ theo lựa chọn của \(u_1\) và \(u_5\). Quan trọng là các giá trị của \(u_i\) phải thỏa mãn các phương trình và điều kiện đã cho.

Để giải bài toán này, trước tiên ta cần xác định các giá trị của \( u_i \) sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

1. \( u_2 + u_3 + u_4 = \frac{35}{2} \)
2. \( u_1 \times u_5 = 25 \)
3. \( u_i > 0 \)

Chúng ta sẽ tìm các giá trị của \( u_1, u_2, u_3, u_4, u_5 \) sao cho các điều kiện trên được thỏa mãn.

### Giải

**Bước 1: Giải phương trình \( u_1 \times u_5 = 25 \)**

Vì \( u_1 \) và \( u_5 \) đều dương, ta có thể chọn các cặp giá trị dương sao cho tích của chúng bằng 25. Một số cặp giá trị có thể là:

- \( u_1 = 5 \) và \( u_5 = 5 \)
- \( u_1 = 1 \) và \( u_5 = 25 \)
- \( u_1 = 25 \) và \( u_5 = 1 \)

**Bước 2: Tính toán cho từng cặp giá trị**

**Trường hợp 1: \( u_1 = 5 \) và \( u_5 = 5 \)**

Ta có:

\[
u_2 + u_3 + u_4 = \frac{35}{2}
\]

Thay vào đó, ta cần tìm các giá trị dương cho \( u_2, u_3, u_4 \) sao cho tổng của chúng bằng \( \frac{35}{2} \). Một ví dụ có thể là:

- \( u_2 = 5 \)
- \( u_3 = 10 \)
- \( u_4 = \frac{35}{2} - (5 + 10) = \frac{35}{2} - 15 = \frac{5}{2} \)

Như vậy, ta có:

\[
u_2 = 5, \; u_3 = 10, \; u_4 = \frac{5}{2}, \; u_1 = 5, \; u_5 = 5
\]

**Trường hợp 2: \( u_1 = 1 \) và \( u_5 = 25 \)**

Ta có:

\[
u_2 + u_3 + u_4 = \frac{35}{2}
\]

Thay vào đó, ta cần tìm các giá trị dương cho \( u_2, u_3, u_4 \) sao cho tổng của chúng bằng \( \frac{35}{2} \). Ví dụ:

- \( u_2 = 7 \)
- \( u_3 = 7 \)
- \( u_4 = \frac{35}{2} - (7 + 7) = \frac{35}{2} - 14 = \frac{7}{2} \)

Như vậy, ta có:

\[
u_2 = 7, \; u_3 = 7, \; u_4 = \frac{7}{2}, \; u_1 = 1, \; u_5 = 25
\]

**Trường hợp 3: \( u_1 = 25 \) và \( u_5 = 1 \)**

Ta có:

\[
u_2 + u_3 + u_4 = \frac{35}{2}
\]

Thay vào đó, ta cần tìm các giá trị dương cho \( u_2, u_3, u_4 \) sao cho tổng của chúng bằng \( \frac{35}{2} \). Ví dụ:

- \( u_2 = 10 \)
- \( u_3 = 10 \)
- \( u_4 = \frac{35}{2} - (10 + 10) = \frac{35}{2} - 20 = \frac{15}{2} \)

Như vậy, ta có:

\[
u_2 = 10, \; u_3 = 10, \; u_4 = \frac{15}{2}, \; u_1 = 25, \; u_5 = 1
\]

### Kết luận

Có nhiều tập hợp giá trị \( u_i \) thỏa mãn các điều kiện của bài toán. Một số ví dụ là:

1. \( u_1 = 5, \; u_2 = 5, \; u_3 = 10, \; u_4 = \frac{5}{2}, \; u_5 = 5 \)
2. \( u_1 = 1, \; u_2 = 7, \; u_3 = 7, \; u_4 = \frac{7}{2}, \; u_5 = 25 \)
3. \( u_1 = 25, \; u_2 = 10, \; u_3 = 10, \; u_4 = \frac{15}{2}, \; u_5 = 1 \)